Prove que se f é analítica e |f(z)| é constante em uma região, então f é constante.

Passo 1

O enunciado dá:
  • Uma função f é analítica numa região (isto é, num aberto conexo) U.
  • Sabe-se que o módulo |f(z)| é constante em U. Ou seja, existe uma constante M\ge 0 tal que
|f(z)| = M\quad\text{para todo }z\in U.
O que precisa ser provado:
  • Mostrar que f é constante em U (isto é, existe um c\in\mathbb{C} tal que f(z)=c para todo z\in U).

Passo 2

Primeira observação simples de casos fáceis:
  • Se M=0, então |f(z)|=0 para todo z, logo f(z)=0 em U e estamos feitos: f é constante.
  • A seguir tratamos o caso M>0.
Agora vamos usar a representação em partes reais. Escrevemos
f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y),
onde u e v são funções reais de x,y (com z=x+iy). Como f é analítica, u e v têm derivadas parciais contínuas e satisfazem as equações de Cauchy–Riemann:
u_x = v_y,\qquad u_y = -v_x.
Vou explicar rapidinho: as equações de Cauchy–Riemann são a condição local que garante que a função complexa é diferenciável (holomorfa) — elas ligam as derivadas parciais de u e v.

Passo 3

Escrevemos a condição do módulo constante em termos de u e v:
|f(z)|^2 = u(x,y)^2 + v(x,y)^2 = M^2\quad\text{em todo }U.
Agora diferenciamos esta identidade em relação a x e a y (podemos fazer isso porque u,v são C^1).
Derivando em relação a x:
2u\,u_x + 2v\,v_x = 0 \quad\Longrightarrow\quad u\,u_x + v\,v_x = 0.
Derivando em relação a y:
2u\,u_y + 2v\,v_y = 0 \quad\Longrightarrow\quad u\,u_y + v\,v_y = 0.
Essas são duas relações lineares entre as derivadas parciais de u e v.

Passo 4

Substituímos nas duas equações as relações das equações de Cauchy–Riemann. Lembrando que
v_x = -u_y,\qquad v_y = u_x,
as duas equações anteriores ficam:
da derivada em x:
u\,u_x + v\,v_x = u\,u_x + v(-u_y) = u\,u_x - v\,u_y = 0,
da derivada em y:
u\,u_y + v\,v_y = u\,u_y + v\,u_x = 0.
Escrevendo isso como um sistema para as incógnitas u_x e u_y:
\begin{pmatrix} u & -v\\[2pt] v & \;u \end{pmatrix} \begin{pmatrix}u_x\\[2pt] u_y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[2pt]0\end{pmatrix}.
Agora observe o determinante da matriz:
\det\begin{pmatrix}u & -v\\\ v & u\end{pmatrix} = u^2+v^2 = |f|^2 = M^2.
Pelo caso que estamos tratando temos M>0, logo o determinante é positivo e a matriz é invertível. Portanto a única solução do sistema linear é
u_x = 0,\qquad u_y = 0
em todo U. Assim u é constante em U (uma função com todas as derivadas parciais nulas numa região conexa é constante).]

Passo 5

Como u é constante e f é holomorfa, as equações de Cauchy–Riemann implicam que v_x = -u_y = 0 e v_y = u_x = 0. Logo v também é constante em U.
Portanto f(z)=u+iv é constante em U.

Resposta

f é constante em U.

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