Prove que se
é analítica e
é constante em uma região, então
é constante.
Passo 1
O enunciado dá:
- Uma função
é analítica numa região (isto é, num aberto conexo) . - Sabe-se que o módulo
é constante em . Ou seja, existe uma constante tal que
O que precisa ser provado:
- Mostrar que
é constante em (isto é, existe um tal que para todo ).
Passo 2
Primeira observação simples de casos fáceis:
- Se
, então para todo , logo em e estamos feitos: é constante. - A seguir tratamos o caso
.
Agora vamos usar a representação em partes reais. Escrevemos
onde
e
são funções reais de
(com
). Como
é analítica,
e
têm derivadas parciais contínuas e satisfazem as equações de Cauchy–Riemann:
Vou explicar rapidinho: as equações de Cauchy–Riemann são a condição local que garante que a função complexa é diferenciável (holomorfa) — elas ligam as derivadas parciais de
e
.
Passo 3
Escrevemos a condição do módulo constante em termos de
e
:
Agora diferenciamos esta identidade em relação a
e a
(podemos fazer isso porque
são
).
Derivando em relação a
:
Derivando em relação a
:
Essas são duas relações lineares entre as derivadas parciais de
e
.
Passo 4
Substituímos nas duas equações as relações das equações de Cauchy–Riemann. Lembrando que
as duas equações anteriores ficam:
da derivada em
:
da derivada em
:
Escrevendo isso como um sistema para as incógnitas
e
:
Agora observe o determinante da matriz:
Pelo caso que estamos tratando temos
, logo o determinante é positivo e a matriz é invertível. Portanto a única solução do sistema linear é
em todo
. Assim
é constante em
(uma função com todas as derivadas parciais nulas numa região conexa é constante).]
Passo 5
Como
é constante e
é holomorfa, as equações de Cauchy–Riemann implicam que
e
. Logo
também é constante em
.
Portanto
é constante em
.