Descreva a superfície S parametrizada por
r(u, v)=(u cos v, u sin v, u), -infty<u<infty, 0 <= v <= 2 pi

Passo 1

O enunciado nos dá a parametrização
r(u,v) = (ucos v,;usin v,;u),
com -infty<u<infty e 0<= v<=2pi. O objetivo é identificar a forma geométrica desta superfície, encontrando uma equação implícita em x,y,z.

Passo 2

Das componentes paramétricas temos
x = ucos v, y = usin v, z = u
Então
x^2 + y^2 = u^2cos^2 v + u^2sin^2 v = u^2,
e como z = u segue-se
x^2 + y^2 = z^2

Passo 3

A equação
x^2 + y^2 = z^2
é a descrição implícita de um cone circular reto de vértice na origem, com ângulo de abertura de 45^circ. Como u varia em (-infty,infty), obtemos as duas nappes (parte superior para u>0 e inferior para u<0).

Resposta

A superfície S é o cone duplo dado por
x^2 + y^2 = z^2,
isto é, um cone circular reto de vértice na origem e ângulo de abertura 45^circ.

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