Descreva todas as soluções dos seguintes sistemas lineares homogêneos na forma vetorial paramétrica, onde a matriz de coeficientes é equivalente por linhas à matriz dada.
\left(\begin{array}{cccccc}1 & -4 & -2 & 0 & 3 & -5 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -4 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: descrever todas as soluções do sistema linear homogêneo correspondente à matriz de coeficientes (que é equivalente por linhas à matriz dada) na forma vetorial paramétrica.
Informações que o enunciado dá (peguei estas informações da matriz fornecida):
\begin{pmatrix} 1 & -4 & -2 & 0 & 3 & -5 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -4 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
  • Há seis incógnitas que chamaremos de x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6.
  • O sistema é homogêneo, ou seja, o lado direito é o vetor nulo (todas as equações iguais a zero).
  • As equações obtidas pelas linhas não nulas da matriz são, respectivamente:
    1. x_1 - 4x_2 - 2x_3 + 0\cdot x_4 + 3x_5 - 5x_6 = 0.
    2. x_3 - x_6 = 0.
    3. x_5 - 4x_6 = 0.
O objetivo final é escrever o conjunto solução na forma vetorial paramétrica.

Passo 2

Identificar variáveis pivô e variáveis livres (explicando o porquê).
  • Observando a matriz em forma de escada, os pivôs (primeiros 1 em cada linha não nula) estão nas colunas 1, 3 e 5. Isso significa que x_1,x_3,x_5 são variáveis dependentes (pivôs).
  • As colunas sem pivô são 2,4,6. Logo x_2,x_4,x_6 são variáveis livres (podemos atribuir parâmetros a elas).
    Explicação curta: variáveis livres são aquelas que não aparecem como variável líder numa equação; podemos escolher valores para elas e expressar as demais em função dessas escolhas.

Passo 3

Resolver as equações das linhas para as variáveis pivô em função das variáveis livres.
Escrevendo claramente cada equação (já listada no Passo 1):
\begin{aligned} &\text{(1)}\quad x_1 - 4x_2 - 2x_3 + 3x_5 - 5x_6 = 0,\\[4pt] &\text{(2)}\quad x_3 - x_6 = 0,\\[4pt] &\text{(3)}\quad x_5 - 4x_6 = 0. \end{aligned}
Resolver (2) e (3) primeiro porque são simples:
\text{(2)}\quad x_3 = x_6, \qquad \text{(3)}\quad x_5 = 4x_6.
Substituir essas expressões em (1):
x_1 - 4x_2 - 2(x_6) + 3(4x_6) - 5x_6 = 0.
Agora calcular os termos em x_6:
-2x_6 + 3\cdot 4x_6 - 5x_6 = -2x_6 + 12x_6 - 5x_6 = ( -2 + 12 - 5 )x_6 = 5x_6.
Portanto a equação (1) fica
x_1 - 4x_2 + 5x_6 = 0,
ou seja
x_1 = 4x_2 - 5x_6.
Resumo das dependências encontradas:
x_1 = 4x_2 - 5x_6,\qquad x_3 = x_6,\qquad x_5 = 4x_6.]

Passo 4

Introduzir parâmetros para as variáveis livres e escrever a solução vetorial.
Sejam parâmetros
s:=x_2,\qquad t:=x_4,\qquad u:=x_6,
onde s,t,u\in\mathbb{R}. Então as componentes ficam:
\begin{aligned} x_1 &= 4s - 5u,\\\ x_2 &= s,\\\ x_3 &= u,\\\ x_4 &= t,\\\ x_5 &= 4u,\\\ x_6 &= u. \end{aligned}
Escrever em forma vetorial, separando os coeficientes de s,t,u:
\begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\x_4\x_5\x_6\end{pmatrix} = s\begin{pmatrix}4\\\ 1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} + u\begin{pmatrix}-5\\\ 0\\\ 1\\\ 0\\\ 4\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 5

Interpretação final e verificações rápidas (dicas para a prova):
  • A solução geral é a combinação linear das três colunas-vetores acima; esses três vetores formam uma base do espaço nulo da matriz (o espaço das soluções homogêneas).
  • A dimensão do espaço solução (nullidade) é 3, igual ao número de variáveis livres s,t,u.
  • Verificação rápida: se s=t=u=0 obtém-se a solução trivial \mathbf{0}, que deve pertencer ao conjunto (já que o sistema é homogêneo). Se quiser checar uma solução específica, escolha por exemplo s=1,t=0,u=1 e substitua nas equações para ver que todas são satisfeitas.

Resposta

\begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\x_4\x_5\x_6\end{pmatrix} = s\begin{pmatrix}4\\\ 1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} + u\begin{pmatrix}-5\\\ 0\\\ 1\\\ 0\\\ 4\\\ 1\end{pmatrix}
s,t,u\in\mathbb{R}

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