Descreva todas as soluções dos seguintes sistemas lineares homogêneos na forma vetorial paramétrica, onde a matriz de coeficientes é equivalente por linhas à matriz dada. \left(\begin{array}{cccccc}1 & -4 & -2 & 0 & 3 & -5 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -4 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)
Passo 1
O que o enunciado pede: descrever todas as soluções do sistema linear homogêneo correspondente à matriz de coeficientes (que é equivalente por linhas à matriz dada) na forma vetorial paramétrica.
Informações que o enunciado dá (peguei estas informações da matriz fornecida):
Há seis incógnitas que chamaremos de x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6.
O sistema é homogêneo, ou seja, o lado direito é o vetor nulo (todas as equações iguais a zero).
As equações obtidas pelas linhas não nulas da matriz são, respectivamente:
x_1 - 4x_2 - 2x_3 + 0\cdot x_4 + 3x_5 - 5x_6 = 0.
x_3 - x_6 = 0.
x_5 - 4x_6 = 0.
O objetivo final é escrever o conjunto solução na forma vetorial paramétrica.
Passo 2
Identificar variáveis pivô e variáveis livres (explicando o porquê).
Observando a matriz em forma de escada, os pivôs (primeiros 1 em cada linha não nula) estão nas colunas 1, 3 e 5. Isso significa que x_1,x_3,x_5 são variáveis dependentes (pivôs).
As colunas sem pivô são 2,4,6. Logo x_2,x_4,x_6 são variáveis livres (podemos atribuir parâmetros a elas).
Explicação curta: variáveis livres são aquelas que não aparecem como variável líder numa equação; podemos escolher valores para elas e expressar as demais em função dessas escolhas.
Passo 3
Resolver as equações das linhas para as variáveis pivô em função das variáveis livres.
Escrevendo claramente cada equação (já listada no Passo 1):
Interpretação final e verificações rápidas (dicas para a prova):
A solução geral é a combinação linear das três colunas-vetores acima; esses três vetores formam uma base do espaço nulo da matriz (o espaço das soluções homogêneas).
A dimensão do espaço solução (nullidade) é 3, igual ao número de variáveis livres s,t,u.
Verificação rápida: se s=t=u=0 obtém-se a solução trivial \mathbf{0}, que deve pertencer ao conjunto (já que o sistema é homogêneo). Se quiser checar uma solução específica, escolha por exemplo s=1,t=0,u=1 e substitua nas equações para ver que todas são satisfeitas.