Mostre que para todo poliedro regular valem as desigualdades
A+6 \leq 3 F

Passo 1

Resumo do que temos: queremos mostrar que num poliedro regular (convexo) vale
A + 6 \le 3F,
onde \,A é o número de arestas e \,F o número de faces. Vamos usar três ingredientes principais: a fórmula de Euler, a contagem dupla de arestas por faces e a contagem dupla de arestas por vértices.

Passo 2

Cada face do poliedro é um polígono com pelo menos três arestas. Como cada aresta toca exatamente duas faces, a contagem dupla dá
2A \;\ge\; 3F.
Isto é, A \ge \tfrac{3}{2}F.

Passo 3

Analogamente, em cada vértice do poliedro se encontram pelo menos três arestas. Contando cada aresta por ambos os extremos, obtemos
2A \;\ge\; 3V,
ou seja, V \le \tfrac{2}{3}A, onde V é o número de vértices.

Passo 4

Aplicamos a fórmula de Euler para poliedros convexos:
V - A + F = 2.
Isolando F,
F = A - V + 2.
Como V \le \tfrac{2}{3}A, segue
F \;\ge\; A - \tfrac{2}{3}A + 2 \;=\; \tfrac{1}{3}A + 2.
Multiplicando por 3,
3F \;\ge\; A + 6,
que é exatamente a desigualdade desejada.

Resposta

A + 6 \le 3F.

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