Mostre que para todo poliedro regular valem as desigualdades
Passo 1
Resumo do que temos: queremos mostrar que num poliedro regular (convexo) vale
onde
é o número de arestas e
o número de faces. Vamos usar três ingredientes principais: a fórmula de Euler, a contagem dupla de arestas por faces e a contagem dupla de arestas por vértices.
Passo 2
Cada face do poliedro é um polígono com pelo menos três arestas. Como cada aresta toca exatamente duas faces, a contagem dupla dá
Isto é,
.
Passo 3
Analogamente, em cada vértice do poliedro se encontram pelo menos três arestas. Contando cada aresta por ambos os extremos, obtemos
ou seja,
, onde
é o número de vértices.
Passo 4
Aplicamos a fórmula de Euler para poliedros convexos:
Isolando
,
Como
, segue
Multiplicando por 3,
que é exatamente a desigualdade desejada.