Mostre que para todo poliedro regular valem as desigualdades
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num poliedro convexo (no caso de um “poliedro regular” basta que cada face tenha pelo menos três arestas), valem as relações entre o número de vértices
, arestas
e faces
dadas por:
- A fórmula de Euler para poliedros convexos, que diz
- A contagem dupla de arestas em relação às faces, que implica
Usaremos essas duas ideias para chegar à desigualdade
Passo 2
Da contagem das arestas junto às faces temos, porque cada face tem pelo menos 3 arestas,
Passo 3
Pela fórmula de Euler,
Substituindo essa expressão em
dá