Mostre que para todo poliedro regular valem as desigualdades
A+6 \leq 3 V

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num poliedro convexo (no caso de um “poliedro regular” basta que cada face tenha pelo menos três arestas), valem as relações entre o número de vértices V, arestas A e faces F dadas por:
  1. A fórmula de Euler para poliedros convexos, que diz
V - A + F = 2,
  1. A contagem dupla de arestas em relação às faces, que implica
2A \;=\;\sum_{\text{faces }f}\deg(f) \;\ge\;3F \quad\Longrightarrow\quad F \;\le\;\frac{2A}{3}.
Usaremos essas duas ideias para chegar à desigualdade
A + 6 \;\le\;3V.

Passo 2

Da contagem das arestas junto às faces temos, porque cada face tem pelo menos 3 arestas,
2A \;=\;\sum_{f}\deg(f)\;\ge\;3F \quad\Longrightarrow\quad F \;\le\;\frac{2A}{3}.

Passo 3

Pela fórmula de Euler,
V - A + F = 2 \quad\Longrightarrow\quad F = 2 + A - V.
Substituindo essa expressão em F\le2A/3
2 + A - V \;\le\;\frac{2A}{3} \quad\Longrightarrow\quad 6 + 3A - 3V \;\le\;2A \quad\Longrightarrow\quad A + 6 \;\le\;3V.

Resposta

A + 6 \;\le\;3V.

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