Descreva o traço das seguintes superficies parametrizadas regulares
Restringindo convenientemente o domínio de
, obtenha uma mudança de parâmetros
, tal que
.
Passo 1
O enunciado nos dá duas parametrizações de superfícies em
, ambas com imagem contida no plano
:
Precisamos (i) descrever o traço (imagem) de cada uma, (ii) restringir o domínio de
para que as imagens coincidam, e (iii) encontrar uma aplicação
no novo domínio tal que
Passo 2
A imagem de
é
isto é, todo o plano
.
Passo 3
A imagem de
é
ou seja, o plano
sem a origem
.
Passo 4
Para fazer coincidir as imagens, basta excluir do domínio de
o ponto que vai para a origem. Definimos
de modo que
.
Passo 5
A mudança de parâmetros
é dada pelas coordenadas polares:
onde
Então
.
Passo 6
Verificamos que, para todo
,
Logo
no domínio
.
Resposta
Restrigindo
ao domínio
a mudança de parâmetros é
que satisfaz
.