Descreva o traço das seguintes superficies parametrizadas regulares
\begin{aligned} & X(u, v)=(u, v, 0), \quad(u, v) \in \mathbb{R}^{2} ; \\\ & \bar{X}(u, v)=(u \cos v, u \operatorname{sen} v, 0), u \in \mathbb{R}-0, v \in \mathbb{R} . \end{aligned}
Restringindo convenientemente o domínio de X, obtenha uma mudança de parâmetros h, tal que X=\bar{X} \circ h.

Passo 1

O enunciado nos dá duas parametrizações de superfícies em \mathbb R^3, ambas com imagem contida no plano z=0:
X(u,v)=(u,v,0),\quad(u,v)\in\mathbb R^2,
\bar X(u,v)=(u\cos v,\;u\sin v,\;0),\quad u\in\mathbb R\setminus\{0\},\;v\in\mathbb R.
Precisamos (i) descrever o traço (imagem) de cada uma, (ii) restringir o domínio de X para que as imagens coincidam, e (iii) encontrar uma aplicação h no novo domínio tal que
X=\bar X\circ h.

Passo 2

A imagem de X é
\{(x,y,0)\mid x,y\in\mathbb R\},
isto é, todo o plano z=0.

Passo 3

A imagem de \bar X é
\{(u\cos v,u\sin v,0)\mid u\neq0,\;v\in\mathbb R\} =\{(x,y,0)\mid(x,y)\neq(0,0)\},
ou seja, o plano z=0 sem a origem (0,0,0).

Passo 4

Para fazer coincidir as imagens, basta excluir do domínio de X o ponto que vai para a origem. Definimos
\Omega=\mathbb R^2\setminus\{(0,0)\},
de modo que X:\Omega\to\{(x,y,0)\mid(x,y)\neq(0,0)\}.

Passo 5

A mudança de parâmetros h:\Omega\to(\mathbb R\setminus\{0\})\times\mathbb R é dada pelas coordenadas polares:
h(u,v)=\bigl(r,\theta\bigr),
onde
r=\sqrt{u^2+v^2},\qquad \theta=\operatorname{atan2}(v,u).
Então h(u,v)\in(0,\infty)\times\mathbb R\subset(\mathbb R\setminus\{0\})\times\mathbb R.

Passo 6

Verificamos que, para todo (u,v)\in\Omega,
\bar X\bigl(h(u,v)\bigr) =\bigl(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;0\bigr) =(u,v,0) = X(u,v).
Logo X=\bar X\circ h no domínio \Omega.

Resposta

Restrigindo X ao domínio
\Omega=\mathbb R^2\setminus\{(0,0)\},
a mudança de parâmetros é
h(u,v)=\Bigl(\sqrt{u^2+v^2},\;\operatorname{atan2}(v,u)\Bigr),
que satisfaz X=\bar X\circ h.

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