(valor 2,0) Calcule a integral de linha \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}, sendo \vec{F}=(3 x z, 4 y z, 2 x y) e C a curva poligonal que liga os pontos A(0,0,0) e B(1,1,2) passando pelo ponto C(3,3,1).

Passo 1

Temos a integral de linha
\int_{C}\vec F\cdot d\vec r,
onde \vec F=(3xz,4yz,2xy) e C é a poligonal A\to C\to B com A(0,0,0), C(3,3,1), B(1,1,2). Para resolver, vamos:
  1. Parametrizar o segmento A\!C e calcular \int_{A}^{C}.
  2. Parametrizar o segmento C\!B e calcular \int_{C}^{B}.
  3. Somar os dois resultados.

Passo 2

Parametrizamos A\to C por
\vec r_1(t)=(3t,\,3t,\,t),\quad t\in[0,1],
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d\vec r_1=(3,\,3,\,1)\,dt.
Em \vec r_1, x=3t, y=3t, z=t, então
\vec F(\vec r_1) =(3\cdot(3t)\cdot t,\;4\cdot(3t)\cdot t,\;2\cdot(3t)\cdot(3t)) =(9t^2,\,12t^2,\,18t^2).
O produto escalar é
\vec F(\vec r_1)\cdot d\vec r_1 =9t^2\cdot3+12t^2\cdot3+18t^2\cdot1 =81t^2\,dt.
Integramos de 0 a 1:
\int_{0}^{1}81t^2\,dt =81\cdot\frac{1}{3} =27.

Passo 3

Parametrizamos C\to B por
\vec r_2(s)=(3,3,1)+s\bigl((-2),(-2),(1)\bigr) =(3-2s,\,3-2s,\,1+s),\quad s\in[0,1],
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d\vec r_2=(-2,\,-2,\,1)\,ds.
Em \vec r_2, x=y=3-2s, z=1+s. Então
\vec F(\vec r_2) =(3x z,\;4y z,\;2xy) =\bigl(3(3-2s)(1+s),\,4(3-2s)(1+s),\,2(3-2s)^2\bigr).
O produto escalar é
\vec F(\vec r_2)\cdot d\vec r_2 =-6(3-2s)(1+s)-8(3-2s)(1+s)+2(3-2s)^2.
Simplificando, obtemos
-24-38s+36s^2.
Integramos de 0 a 1:
\int_{0}^{1}(-24-38s+36s^2)\,ds =-24-19+12 =-31.

Passo 4

Somando as contribuições de A\to C e C\to B:
27 + (-31) = -4.

Resposta

-4

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