(valor 2,0) Calcule a integral de linha \int_{C} 3 x y d s, sendo C o segmento de reta de A(1,0) a B(1,2).

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha de uma função escalar ao longo do segmento de reta C de A(1,0) até B(1,2):
\int_{C} 3xy\,ds.
O conteúdo aqui é integral de linha de campo escalar, e vamos precisar parametrizar a curva e calcular ds.

Passo 2

Parametrizamos C de forma simples fazendo x constante e y variando de 0 a 2. Seja
x(t)=1,\quad y(t)=t, \quad 0\le t\le2.

Passo 3

Calculamos o elemento de comprimento ds. Como
\frac{dx}{dt}=0, \quad \frac{dy}{dt}=1,
temos
ds=\sqrt{\Bigl(\frac{dx}{dt}\Bigr)^2+\Bigl(\frac{dy}{dt}\Bigr)^2}\,dt =\sqrt{0+1}\,dt =dt.

Passo 4

Em termos de t, o integrando 3xy fica
3\,x(t)\,y(t)=3\cdot1\cdot t=3t.
Logo a integral vira
\int_{C}3xy\,ds =\int_{0}^{2}3t\,(dt).

Passo 5

Basta calcular a integral de 3t:
\int_{0}^{2}3t\,dt =3\int_{0}^{2}t\,dt =3\biggl[\frac{t^2}{2}\biggr]_{0}^{2} =3\cdot\frac{4}{2} =6.

Resposta

6

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