Num voo com capacidade para 100 pessoas, uma companhia aérea cobra R \ 200,00 por pessoa quando todos os lugares são ocupados. Se existirem lugares não ocupados, ao preço de cada passagem será acrescida a importância de R\ããçáâ 4,00 por cada lugar não ocupado. Quantos devem ser os lugares não ocupados para que a companhia obtenha o faturamento máximo?

Passo 1

O enunciado diz que um voo tem capacidade para 100 pessoas e, se todos os lugares estiverem ocupados, o preço da passagem é de R$ 200. Sempre que houver lugares não ocupados, o preço de cada passagem aumenta em R$ 4 para cada lugar vago. É um problema de otimização de função quadrática: queremos escolher o número de lugares não ocupados de modo a maximizar o faturamento total.

Passo 2

Definimos:
x = número de lugares não ocupados (logo 0 \le x \le 100).
• Passageiros embarcados = 100 - x.
• Preço por passageiro = 200 + 4x.
Portanto, o faturamento total é
R(x) = (\text{preço por passageiro}) \times (\text{número de passageiros})çú
R(x) = (200 + 4x)\,(100 - x).

Passo 3

Vamos escrever R(x) como um polinômio:
R(x) = (200 + 4x)(100 - x) = 200\cdot100 - 200x + 4x\cdot100 -4x^2 = 20000 + 200x - 4x^2.
Isso é uma parábola voltada para baixo (coeficiente de x^2 é -4), logo tem um máximo.

Passo 4

Para uma parábola R(x)=ax^2 + bx + c com a<0, o vértice (máximo) ocorre em
x = -\frac{b}{2a}.
Aqui a = -4 e b = 200, então
x = -\frac{200}{2\cdot(-4)} = \frac{200}{8} = 25.

Resposta

O número de lugares não ocupados que maximiza o faturamento é 25.

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