Universidade Federal do Triângulo Mineiro
Uma bola é lançada ao ar. Suponha que sua altura h, em metros, t segundos após o lançamento, seja h(t)=-t^{2}+4 t+6. Determine:
a) o instante em que a bola atinge a sua altura máxima;
b) a altura máxima atingida pela bola;
c) quantos segundos depois do lançamento ela toca o solo.

Passo 1

O enunciado dá a altura de uma bola em função do tempo como
h(t) = -t^{2} + 4t + 6,
que é uma função quadrática (parábola). Vamos:
  1. encontrar o instante em que atinge o vértice (altura máxima),
  2. calcular essa altura,
  3. determinar quando h(t)=0 para saber quando ela toca o solo.

Passo 2

Para achar o instante do vértice de uma parábola h(t)=at^{2}+bt+c, usamos
t_{v} = -\frac{b}{2a}.
Aqui a=-1 e b=4, logo
t_{v} = -\frac{4}{2\cdot(-1)} = 2\\ \text{segundos}.

Passo 3

A altura máxima é h(2). Substituindo em
h(t) = -t^{2} + 4t + 6
temos
h(2) = -(2)^{2} + 4\cdot2 + 6 = -4 + 8 + 6 = 10\\ \text{metros}.

Passo 4

Para achar quando a bola toca o solo, resolvemos h(t)=0:
-t^{2} + 4t + 6 = 0 \quad\Longrightarrow\quad t^{2} - 4t - 6 = 0.
O discriminante é
\Delta = (-4)^{2} - 4\cdot1\cdot(-6) = 16 + 24 = 40,
e as raízes são
t = \frac{4 \pm \sqrt{40}}{2} = 2 \pm \sqrt{10}.

Passo 5

Desprezamos a raiz negativa 2 - \sqrt{10}<0. Portanto o instante em que ela toca o solo após o lançamento é
t = 2 + \sqrt{10}\\ \text{segundos}.

Resposta

a) 2 segundos
b) 10 metros
c) 2 + \sqrt{10} segundos

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