Descreva as transformações que levam o gráfico de
ao gráfico de
Solução. Começamos com
. A expressão
desloca o gráfico uma unidade para a direita. O fator 2 multiplica todos os valores de
por 2 , provocando um alongamento vertical. O termo +3 desloca o gráfico três unidades para cima.
Assim, o gráfico de
é uma parábola com concavidade voltada para cima, vértice em
e eixo de simetria
Assim, o gráfico de
Passo 1
O enunciado pede que descrevamos as transformações que levam o gráfico de
ao gráfico de
Informações dadas:
- Função inicial:
. - Função final:
.
O que se deve responder: listar e explicar, passo a passo, as transformações geométricas (translação, alongamento, reflexão, etc.) que transformam o gráfico deno gráfico de . Também é útil identificar vértice, concavidade e eixo de simetria.
Passo 2
Escrevendo
na forma canônica de parábola:
A forma geral
é muito útil: aqui
controla alongamento/compressão vertical e sinal (concavidade),
é o deslocamento horizontal (para a direita quando
), e
é o deslocamento vertical (para cima quando
). No nosso caso,
,
e
. Vou explicar o significado de cada um e mostrar como isso age sobre o gráfico.
Passo 3
Translação horizontal causada por
.
Regra prática: substituir
por
desloca o gráfico da função original
unidades para a direita. Explicação elementar (mapeamento de pontos): um ponto genérico do gráfico de
é
. Se formarmos
, então o ponto com a mesma “altura”
agora aparece em
, ou seja o ponto correspondente é
. Portanto o gráfico foi deslocado 1 unidade para a direita.
Passo 4
Alongamento vertical causado pelo fator
.
Regra prática: multiplicar a função por
transforma cada ponto
em
. Isso é um alongamento vertical de fator
em relação ao eixo
se
; se
é uma compressão; se
há também reflexão vertical.
No nosso caso
, então após a translação horizontal os valores de
são multiplicados por
. Aplicando ao ponto
do passo anterior, obtemos
. Geometricamente a parábola fica “mais estreita” porque os
crescerão mais rápido ao se afastar do vértice.
Passo 5
Translação vertical causada pelo
.
Regra prática: somar
à função leva cada ponto
para
, ou seja deslocamento vertical de
unidades para cima se
.
Aplicando ao ponto
do passo anterior, obtemos
. Assim o gráfico inteiro sobe 3 unidades.
Passo 6
Resumo das operações na ordem em que costumamos imaginá-las (essa ordem é conveniente para pensar nos efeitos passo a passo sobre pontos):
- Começar com
. - Substituir
por : deslocamento 1 unidade para a direita → . - Multiplicar por
: alongamento vertical de fator → . - Somar
: deslocamento 3 unidades para cima → .
Observação: o efeito final é independente de descrevermos as operações nesta ordem ou aplicá-las como composição da expressão; o mapeamento de pontos fica consistente: um ponto
da parábola básica vai para
na parábola transformada.
Passo 7
Cálculo do vértice, concavidade e eixo de simetria usando as transformações.
- Vértice da parábola básica
é . - Após deslocamento para a direita 1: vértice em
. - O alongamento vertical por
não altera a coordenada do vértice e multiplica a coordenada por , mas como isso permanece : vértice ainda . - Após deslocamento para cima 3: vértice em
.
Concavidade: como
, a parábola continua com concavidade voltada para cima.
Eixo de simetria: vertical passando pelo vértice, ou seja
.
Passo 8
Exemplo numérico rápido para conferir: escolha
. No gráfico de
há o ponto
.
- Deslocando para a direita 1 →
. - Alongando verticalmente por 2 →
. - Subindo 3 →
.
Verificando diretamente:. Combina — tudo certo!
Resposta
Deslocamento 1 unidade para a direita; alongamento vertical por fator
(estreitamento); deslocamento 3 unidades para cima.
Vértice:
Concavidade: para cima (pois )
Eixo de simetria:
Vértice:
Concavidade: para cima (pois
Eixo de simetria: