Descreva as transformações que levam o gráfico de y=x^{2} ao gráfico de
f(x)=2(x-1)^{2}+3 .
Solução. Começamos com y=x^{2}. A expressão (x-1)^{2} desloca o gráfico uma unidade para a direita. O fator 2 multiplica todos os valores de y por 2 , provocando um alongamento vertical. O termo +3 desloca o gráfico três unidades para cima.
Assim, o gráfico de f é uma parábola com concavidade voltada para cima, vértice em
\begin{array}{|l|} \hline(1,3) \\\ \hline \end{array}
e eixo de simetria
x=1 .

Passo 1

O enunciado pede que descrevamos as transformações que levam o gráfico de y=x^{2} ao gráfico de
f(x)=2(x-1)^{2}+3.
Informações dadas:
  • Função inicial: y=x^{2}.
  • Função final: f(x)=2(x-1)^{2}+3.
    O que se deve responder: listar e explicar, passo a passo, as transformações geométricas (translação, alongamento, reflexão, etc.) que transformam o gráfico de y=x^{2} no gráfico de f(x). Também é útil identificar vértice, concavidade e eixo de simetria.

Passo 2

Escrevendo f na forma canônica de parábola:
f(x)=2(x-1)^{2}+3.
A forma geral
y=a(x-h)^{2}+k
é muito útil: aqui a controla alongamento/compressão vertical e sinal (concavidade), h é o deslocamento horizontal (para a direita quando h>0), e k é o deslocamento vertical (para cima quando k>0). No nosso caso, a=2, h=1 e k=3. Vou explicar o significado de cada um e mostrar como isso age sobre o gráfico.

Passo 3

Translação horizontal causada por (x-1)^{2}.
Regra prática: substituir x por (x-h) desloca o gráfico da função original h unidades para a direita. Explicação elementar (mapeamento de pontos): um ponto genérico do gráfico de y=x^{2} é (t,t^{2}). Se formarmos y=(x-1)^{2}, então o ponto com a mesma “altura” t^{2} agora aparece em x=t+1, ou seja o ponto correspondente é (t+1,t^{2}). Portanto o gráfico foi deslocado 1 unidade para a direita.

Passo 4

Alongamento vertical causado pelo fator 2.
Regra prática: multiplicar a função por a transforma cada ponto (x,y) em (x,ay). Isso é um alongamento vertical de fator |a| em relação ao eixo x se |a|>1; se 0<|a|<1 é uma compressão; se a<0 há também reflexão vertical.
No nosso caso a=2, então após a translação horizontal os valores de y são multiplicados por 2. Aplicando ao ponto (t+1,t^{2}) do passo anterior, obtemos (t+1,2t^{2}). Geometricamente a parábola fica “mais estreita” porque os y crescerão mais rápido ao se afastar do vértice.

Passo 5

Translação vertical causada pelo +3.
Regra prática: somar k à função leva cada ponto (x,y) para (x,y+k), ou seja deslocamento vertical de k unidades para cima se k>0.
Aplicando ao ponto (t+1,2t^{2}) do passo anterior, obtemos (t+1,2t^{2}+3). Assim o gráfico inteiro sobe 3 unidades.

Passo 6

Resumo das operações na ordem em que costumamos imaginá-las (essa ordem é conveniente para pensar nos efeitos passo a passo sobre pontos):
  1. Começar com y=x^{2}.
  2. Substituir x por x-1: deslocamento 1 unidade para a direita → y=(x-1)^{2}.
  3. Multiplicar por 2: alongamento vertical de fator 2 y=2(x-1)^{2}.
  4. Somar 3: deslocamento 3 unidades para cima → f(x)=2(x-1)^{2}+3.
Observação: o efeito final é independente de descrevermos as operações nesta ordem ou aplicá-las como composição da expressão; o mapeamento de pontos fica consistente: um ponto (t,t^{2}) da parábola básica vai para (t+1,2t^{2}+3) na parábola transformada.

Passo 7

Cálculo do vértice, concavidade e eixo de simetria usando as transformações.
  • Vértice da parábola básica y=x^{2} é (0,0).
  • Após deslocamento para a direita 1: vértice em (1,0).
  • O alongamento vertical por 2 não altera a coordenada x do vértice e multiplica a coordenada y por 2, mas como y=0 isso permanece 0: vértice ainda (1,0).
  • Após deslocamento para cima 3: vértice em (1,3).
Concavidade: como a=2>0, a parábola continua com concavidade voltada para cima.
Eixo de simetria: vertical passando pelo vértice, ou seja x=1.

Passo 8

Exemplo numérico rápido para conferir: escolha t=2. No gráfico de y=x^{2} há o ponto (2,4).
  • Deslocando para a direita 1 → (3,4).
  • Alongando verticalmente por 2 → (3,8).
  • Subindo 3 → (3,11).
    Verificando diretamente: f(3)=2(3-1)^{2}+3=2\cdot 4+3=11. Combina — tudo certo!

Resposta

Deslocamento 1 unidade para a direita; alongamento vertical por fator 2 (estreitamento); deslocamento 3 unidades para cima.
Vértice: (1,3)
Concavidade: para cima (pois a=2>0)
Eixo de simetria: x=1

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