1.4. Determine a inversa da função
Solução. Escrevemos
:
Multiplicando por
:
Distribuindo:
Agrupando os termos com
de um lado:
Colocando
em evidência:
Logo,
Trocando
por
, obtemos
O domínio da inversa é
, pois a função original nunca assume o valor 2 .
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar a função inversa
. Informações importantes que temos:
- A expressão algébrica de
é . - O domínio explícito da função original é
. - O que se quer: a fórmula de
(a função que troca entradas e saídas de ) e, implicitamente, o domínio dessa inversa.
Passo 2
Primeiro passo para achar a inversa: escrever
e resolver essa equação para
em função de
. Isso porque a inversa troca
e
. Então começamos com
Passo 3
Para eliminar o denominador, multiplicamos ambos os lados por
. Isso é válido desde que
, que já é condição do domínio da função dada:
Passo 4
Distribuímos o lado esquerdo para desenvolver a expressão e deixá-la mais manipulável:
Agora queremos isolar os termos que contêm
num mesmo lado e os demais no outro lado.
Passo 5
Agrupamos os termos com
no lado esquerdo (subtraindo
de ambos os lados) e os restantes no lado direito (somando
e subtraindo
quando necessário):
Passo 6
Colocamos
em evidência do lado esquerdo, porque isso nos permite resolver para
facilmente:
Repare que fatoramos
em comum; isso é um passo padrão para isolar a incógnita.
Passo 7
Agora dividimos pelo fator
para obter
explicitamente. Aqui devemos observar que não podemos dividir por zero; portanto essa operação está válida desde que
. Fazendo a divisão obtemos
Podemos simplificar o sinal trocando o sinal do numerador e do denominador:
Passo 8
A expressão acima dá
em função de
. Para obter a inversa
trocamos os papéis de
e
: a função inversa é a função que, dada uma variável de entrada que antes era a saída, dá a variável que antes era a entrada. Assim:
Passo 9
Agora precisamos determinar o domínio de
. Pelo passo anterior, a inversa tem denominador
, então não pode ter
, ou seja
. Além disso, esse
corresponde à imagem de
; portanto convém verificar que
realmente não pertence à imagem de
. Vamos checar se existe
tal que
:
Multiplicando por
(assumindo
):
Subtraindo
de ambos os lados:
o que é um absurdo. Logo não existe
com
. Isso confirma que
não está na imagem de
e, portanto, a única restrição ao domínio de
é
.
Passo 10
(Facultativo mas útil para checar) Verificação rápida: compor
com a candidata
deve retornar a identidade. Tomando
e simplificando, obtém-se
(a simplificação passa por substituir
por
na expressão de
e reduzir; isso confirma que a fórmula encontrada é realmente a inversa, sempre respeitando as restrições de domínio).