1.4. Determine a inversa da função

f(x)=\frac{2 x-1}{x+3}, \quad x \neq-3
Solução. Escrevemos y=f(x) :
y=\frac{2 x-1}{x+3}
Multiplicando por x+3 :
y(x+3)=2 x-1
Distribuindo:
y x+3 y=2 x-1
Agrupando os termos com x de um lado:
y x-2 x=-1-3 y
Colocando x em evidência:
x(y-2)=-(1+3 y)
Logo,
x=\frac{1+3 y}{2-y}
Trocando y por x, obtemos
f^{-1}(x)=\frac{1+3 x}{2-x}
O domínio da inversa é x \neq 2, pois a função original nunca assume o valor 2 .

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{2x-1}{x+3},\quad x\neq -3
e pede para determinar a função inversa f^{-1}. Informações importantes que temos:
  • A expressão algébrica de f é \dfrac{2x-1}{x+3}.
  • O domínio explícito da função original é x\neq -3.
  • O que se quer: a fórmula de f^{-1} (a função que troca entradas e saídas de f) e, implicitamente, o domínio dessa inversa.

Passo 2

Primeiro passo para achar a inversa: escrever y=f(x) e resolver essa equação para x em função de y. Isso porque a inversa troca x e y. Então começamos com
y=\frac{2x-1}{x+3}.

Passo 3

Para eliminar o denominador, multiplicamos ambos os lados por x+3. Isso é válido desde que x\neq -3, que já é condição do domínio da função dada:
y(x+3)=2x-1.

Passo 4

Distribuímos o lado esquerdo para desenvolver a expressão e deixá-la mais manipulável:
yx+3y=2x-1.
Agora queremos isolar os termos que contêm x num mesmo lado e os demais no outro lado.

Passo 5

Agrupamos os termos com x no lado esquerdo (subtraindo 2x de ambos os lados) e os restantes no lado direito (somando 1 e subtraindo 3y quando necessário):
yx-2x=-1-3y.

Passo 6

Colocamos x em evidência do lado esquerdo, porque isso nos permite resolver para x facilmente:
x(y-2)=-(1+3y).
Repare que fatoramos x em comum; isso é um passo padrão para isolar a incógnita.

Passo 7

Agora dividimos pelo fator y-2 para obter x explicitamente. Aqui devemos observar que não podemos dividir por zero; portanto essa operação está válida desde que y\neq 2. Fazendo a divisão obtemos
x=\frac{-(1+3y)}{y-2}.
Podemos simplificar o sinal trocando o sinal do numerador e do denominador:
x=\frac{1+3y}{2-y}.

Passo 8

A expressão acima dá x em função de y. Para obter a inversa f^{-1} trocamos os papéis de x e y: a função inversa é a função que, dada uma variável de entrada que antes era a saída, dá a variável que antes era a entrada. Assim:
f^{-1}(x)=\frac{1+3x}{2-x}.

Passo 9

Agora precisamos determinar o domínio de f^{-1}. Pelo passo anterior, a inversa tem denominador 2-x, então não pode ter 2-x=0, ou seja x\neq 2. Além disso, esse x corresponde à imagem de f; portanto convém verificar que 2 realmente não pertence à imagem de f. Vamos checar se existe t tal que f(t)=2:
\frac{2t-1}{t+3}=2.
Multiplicando por t+3 (assumindo t\neq -3):
2t-1=2t+6.
Subtraindo 2t de ambos os lados:
-1=6,
o que é um absurdo. Logo não existe t com f(t)=2. Isso confirma que 2 não está na imagem de f e, portanto, a única restrição ao domínio de f^{-1} é x\neq 2.

Passo 10

(Facultativo mas útil para checar) Verificação rápida: compor f com a candidata f^{-1} deve retornar a identidade. Tomando f(f^{-1}(x)) e simplificando, obtém-se x (a simplificação passa por substituir x por \dfrac{1+3x}{2-x} na expressão de f e reduzir; isso confirma que a fórmula encontrada é realmente a inversa, sempre respeitando as restrições de domínio).

Resposta

f^{-1}(x)=\dfrac{1+3x}{2-x}
\text{Domínio de }f^{-1}: x\neq 2í

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