Descreva o vetor nulo de cada um dos espaços vetoriais abaixo (nos quais são consideradas as operações usuais de adição de vetores e de multiplicação por escalar):
C^n

Passo 1

O enunciado pede para descrever o vetor nulo do espaço vetorial C^n quando usamos as operações usuais de soma de vetores e multiplicação por escalar. O conteúdo aqui é teoria de espaços vetoriais, em particular a caracterização do elemento neutro da soma (vetor nulo).

Passo 2

Por definição de espaço vetorial, o vetor nulo 0 é o único vetor que satisfaz
v + 0 = v
para todo vetor v no espaço. Além disso, cada coordenada do vetor nulo deve ser o elemento neutro da adição em seu corpo de escalares (aqui C).

Passo 3

Num vetor de C^n, escrevemos
v = (v1, v2, dots, vn),
onde cada viinC. A soma de dois vetores é feita coordenada a coordenada:
(v1,dots,vn)+(w1,dots,wn)=(v1+w1,dots,vn+wn)
Para que v + 0 = v, cada soma vi + 0i deve retornar vi.

Passo 4

O neutro da adição em C é o número 0 (que, na prática, é 0+0i). Logo, cada componente do vetor nulo em C^n é 0. Assim
0 = (0,0,dots,0)inC^n
é o vetor que, somado a qualquer v, devolve v.

Resposta

O vetor nulo de C^n é
(0,0,dots,0)

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