Descreva o vetor nulo de cada um dos espaços vetoriais abaixo (nos quais são consideradas as operações usuais de adição de vetores e de multiplicação por escalar):
Passo 1
O enunciado pede para descrever o vetor nulo do espaço vetorial
quando usamos as operações usuais de soma de vetores e multiplicação por escalar. O conteúdo aqui é teoria de espaços vetoriais, em particular a caracterização do elemento neutro da soma (vetor nulo).
Passo 2
Por definição de espaço vetorial, o vetor nulo
é o único vetor que satisfaz
para todo vetor
no espaço. Além disso, cada coordenada do vetor nulo deve ser o elemento neutro da adição em seu corpo de escalares (aqui
).
Passo 3
Num vetor de
, escrevemos
onde cada
. A soma de dois vetores é feita coordenada a coordenada:
Para que
, cada soma
deve retornar
.
Passo 4
O neutro da adição em
é o número
(que, na prática, é
). Logo, cada componente do vetor nulo em
é
. Assim
é o vetor que, somado a qualquer
, devolve
.
Resposta
O vetor nulo de
é