Encontre as equações:
Cartesiana para o plano de equações paramétricas cx=t-s+1 y=t+s-1 z=t+2 t, s in R.

Passo 1

O enunciado dá um plano em coordenadas paramétricas
x = t - s + 1, y = t + s - 1, z = t + 2, t,sinR
e pede sua equação cartesiana. O conteúdo aqui é obter o vetor normal ao plano e usar a forma
ncdotl((x,y,z)-r0r)=0

Passo 2

Para achar o vetor normal, identificamos dois vetores diretores do plano:
quando variamos t com s fixo,
vt=partial(x,y,z)partial t=(1,1,1),
e quando variamos s com t fixo,
vs=partial(x,y,z)partial s=(-1,1,0)
O vetor normal é o produto vetorial
n=vttimesvs =deti&j&k1&1&1-1&1&0 =(-1,-1,2)

Passo 3

Escolhemos um ponto r0 do plano, por exemplo para t=0,s=0:
r0=(x,y,z)|t=0,s=0=(1,-1,2)
Então a equação do plano é
ncdotl((x,y,z)-r0r)=0 Longrightarrow (-1,-1,2)cdotl((x-1),(y+1),(z-2)r)=0

Passo 4

Expandindo o produto escalar:
-1,(x-1)-1,(y+1)+2,(z-2)=0 ;Longrightarrow; -,x+1 -,y-1 +2z -4=0 ;Longrightarrow; -,x -y +2z -4=0
Multiplicando por -1 para ficar em forma padrão:

Resposta

x + y - 2z + 4 = 0

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