O que descreve o conjunto de todas as combinações lineares dos ternos:
(1,1,0),(0,0,1) e (1,2,3) ?

Passo 1

O enunciado pede o subespaço gerado pelas combinações lineares dos vetores (1,1,0), (0,0,1) e (1,2,3) em R^3. Para resolver, vamos usar o conceito de independência linear e de dimensão de subespaços em R^3.

Passo 2

Colocamos esses vetores como colunas de uma matriz e avaliamos o determinante para verificar se são linearmente independentes:\r
A = 1 & 0 & 1 1 & 0 & 2 0 & 1 & 3

Passo 3

Calculamos o determinante de A:\r
det(A) = 1cdot(0cdot3 - 2cdot1) - 0cdot(1cdot3 - 2cdot0) + 1cdot(1cdot1 - 0cdot0) = 1cdot(-2) + 1cdot1 = -2 + 1 = -1 neq 0

Passo 4

Como det(A)neq 0, os três vetores são linearmente independentes em R^3. Um conjunto de três vetores independentes em R^3 gera todo o espaço R^3.

Resposta

O conjunto de todas as combinações lineares dos vetores (1,1,0), (0,0,1) e (1,2,3) é R^3.

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