Verifique se os pontos A, B, C e D pertencem ao mesmo plano. Se isso acontecer, determine a equação cartesiana do plano:
A=(1,1,1), B=(5,-2,3), C=(0,2,1) e D=(7,-3,-1).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os quatro pontos
A=(1,1,1), B=(5,-2,3), C=(0,2,1), D=(7,-3,-1)
são coplanares. O conteúdo necessário é geometria vetorial em R^3, usando o produto misto para testar coplanaridade e, se forem coplanares, obter a equação do plano.

Passo 2

Escolhemos A como ponto de referência e construímos os vetores
AB=B-A=(5-1,,-2-1,,3-1)=(4,-3,2),
AC=C-A=(0-1,,2-1,,1-1)=(-1,1,0),
AD=D-A=(7-1,,-3-1,,-1-1)=(6,-4,-2)

Passo 3

Calculamos o produto misto l(ABtimesACr)cdotAD. Primeiro
ABtimesAC = i & j & k 4 & -3 & 2 -1 & 1 & 0 =(-2,,-2,,1)
Em seguida o produto escalar com AD:
(-2,-2,1)cdot(6,-4,-2) =-2cdot6+(-2)cdot(-4)+1cdot(-2) =-12+8-2=-6

Passo 4

Como o produto misto é -6neq0, concluímos que AB,AC,AD são linearmente independentes, ou seja, A,B,C,D não são coplanares.

Resposta

Os pontos A,B,C,D não pertencem ao mesmo plano, logo não existe equação cartesiana que os contenha simultaneamente.

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