Descreve-se o movimento de um objeto que se move em linha reta num sistema de referência que está orientado da esquerda para a direita. O objeto está sujeito a uma aceleração constante para a direita igual a 2 m / s^2 sendo que no instante t=0 o objeto possui uma velocidade de -8 m / s e está na posição -9 m .
a) Obtenha a equação horária do movimento x(t) e construa um gráfico.
b) Determine em que instante (ou instantes) o objeto passa pela origem.
c) Em que instante a velocidade é igual a velocidade inicial (em módulo)? Qual é a posição nesse instante?
e) Repita o problema supondo que em t=0 o objeto possui uma velocidade de -8 m / s e esteja na posição 20 m .

Passo 1

O problema descreve um movimento retilíneo uniformemente variado (MUV) com aceleração constante a=+2 m/s², velocidade inicial v₀=–8 m/s e posição inicial x₀=–9 m no instante t=0. Precisamos usar as fórmulas do MUV para achar x(t), v(t), resolver quadráticas e analisar gráficos.

Passo 2

Para obter a equação horária, aplicamos x(t)=x₀+v₀ t+(1/2) a t². Substituindo x₀=–9, v₀=–8 e a=2, temos
x(t)=-9-8t+1cdot t^2
Então v(t)=v₀+a t=–8+2t.

Passo 3

O gráfico de x(t)=t²–8t–9 é uma parábola que abre para cima, com vértice no tempo t_v=–(–8)/(2·1)=4 s e posição mínima x(4)=4²–8·4–9=–25 m. A curva corta o eixo t em duas raízes (resolvendo x(t)=0) e o eixo x em t=0 indicando x(0)=–9 m.

Passo 4

Para encontrar quando o objeto passa pela origem, resolvemos t²–8t–9=0. O discriminante é Δ=64+36=100, logo
t=8pm102implies t1=-1 s (antes de t=0), t2=9 s
Fisicamente só vale t=9 s.

Passo 5

Para achar quando |v(t)|=|v₀|=8 m/s, resolvemos –8+2t=±8. O caso –8+2t=–8 dá t=0 s (condição inicial) e –8+2t=8 dá t=8 s. Em t=8 s a posição é
x(8)=8²8·89=64649=-9,m ²

Passo 6

Repetindo o processo para x₀=20 m e v₀=–8 m/s, temos
x(t)=20-8t+1cdot t^2, v(t)=-8+2t
Para x(t)=0 a equação t²–8t+20=0 tem Δ=64–80<0, logo não há passagem pela origem. Para |v(t)|=8 obtém-se de novo t=0 s e t=8 s. Em t=8 s a posição é x(8)=20–64+64=20 m.

Resposta

a) x(t)=t²–8t–9 (com aceleração +2 m/s², v₀=–8 m/s, x₀=–9 m) – gráfica: parábola aberta para cima, vértice em (4 s, –25 m).
b) Passa pela origem em t=–1 s (prévio) e t=9 s (físico).
c) |v(t)| volta a 8 m/s em t=0 s (inicial) e em t=8 s; nessa hora x(8)=–9 m.
e) Com x₀=20 m: x(t)=t²–8t+20, não há raízes reais (nunca atinge x=0); |v(t)|=8 dá t=0 s e t=8 s, e em t=8 s x=20 m.

Exercícios relacionados