Um projétil atirado para cima a partir da superfície da Terra usualmente perde velocidade, entretanto ele pode subir para sempre, com uma velocidade decrescendo gradualmente até zero e de modo que sua distância da Terra se aproxime do infinito. A velocidade inicial que esse corpo deve ter, para que isso ocorra, é chamada velocidade de escape. Determine a velocidade de escape de um projétil de massa m, que deixa a superfície de um corpo de massa M e raio R, utilize conservação de energia e suponha que no final a energia cinética e potencial são nulas. (R.: 2GM/R)

Passo 1

Este exercício pede para encontrar a velocidade de escape de um projétil de massa m lançado da superfície de um corpo de massa M e raio R, usando conservação de energia. O conteúdo principal é energia mecânica (cinética e potencial gravitacional) e vamos precisar da expressão da energia potencial em um campo gravitacional: U(r)=-dfracGMmr.

Passo 2

A conservação de energia mecânica diz que a energia total inicial Ei (na superfície do corpo) é igual à energia total final Ef (quando o projétil estiver a uma distância infinita), já que desprezamos forças dissipativas.

Passo 3

Escrevemos a energia mecânica inicial do sistema:
Ei = Ki + Ui = 12 m v0^2 - GMmR

Passo 4

Como no infinito a velocidade e a energia potencial se anulam, a energia final é
Ef = 0 + 0 = 0

Passo 5

Igualando Ei a Ef e isolando v0:
12 m v0^2 - GMmR = 0

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por 2 e dividindo por m temos
v0^2 = 2GMR

Passo 7

Portanto, a velocidade de escape é a raiz quadrada dessa expressão.

Resposta

vescape = raiz2GMR

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