Um projétil atirado para cima a partir da superfície da Terra usualmente perde velocidade, entretanto ele pode subir para sempre, com uma velocidade decrescendo gradualmente até zero e de modo que sua distância da Terra se aproxime do infinito. A velocidade inicial que esse corpo deve ter, para que isso ocorra, é chamada velocidade de escape. Determine a velocidade de escape de um projétil de massa m, que deixa a superfície de um corpo de massa
e raio
, utilize conservação de energia e suponha que no final a energia cinética e potencial são nulas. (R.: 2GM/R)
Passo 1
Este exercício pede para encontrar a velocidade de escape de um projétil de massa
lançado da superfície de um corpo de massa
e raio
, usando conservação de energia. O conteúdo principal é energia mecânica (cinética e potencial gravitacional) e vamos precisar da expressão da energia potencial em um campo gravitacional:
.
Passo 2
A conservação de energia mecânica diz que a energia total inicial
(na superfície do corpo) é igual à energia total final
(quando o projétil estiver a uma distância infinita), já que desprezamos forças dissipativas.
Passo 3
Escrevemos a energia mecânica inicial do sistema:
Passo 4
Como no infinito a velocidade e a energia potencial se anulam, a energia final é
Passo 5
Igualando
a
e isolando
:
Passo 6
Multiplicando ambos os lados por 2 e dividindo por
temos
Passo 7
Portanto, a velocidade de escape é a raiz quadrada dessa expressão.