Descrivolver em série de potência a seguinte função e achar o seu campo de convergéncia.
Passo 1
O enunciado pede para desenvolver em série de potência em torno de
a função
e determinar seu campo de convergência. Vamos usar frações parciais e a soma de séries geométricas.
Passo 2
Fatoramos o denominador e fazemos a decomposição em frações parciais:
procuramos constantes
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
vem
Comparando coeficientes:
resolvendo, obtemos
e
. Logo
Passo 3
Reescrevemos cada parcela como série geométrica em
.
Para fazemos
Para
válido para
, isto é,
.
Para usamos
Para
válido para
.
Passo 4
Como a série total converge quando convergem ambas parcelas, o raio de convergência é dado pela interseção
e
, ou seja
. Somando termo a termo, obtemos