Descrivolver em série de potência a seguinte função e achar o seu campo de convergéncia.
f(x)=\frac{5 x-1}{x^{2}-x-2}

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver em série de potência em torno de x=0 a função
f(x)=\frac{5x-1}{x^{2}-x-2}
e determinar seu campo de convergência. Vamos usar frações parciais e a soma de séries geométricas.

Passo 2

Fatoramos o denominador e fazemos a decomposição em frações parciais:
x^{2}-x-2=(x-2)(x+1),
procuramos constantes A e B tais que
\frac{5x-1}{(x-2)(x+1)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+1}.
Multiplicando ambos os lados por (x-2)(x+1) vem
5x-1=A(x+1)+B(x-2)=(A+B)x+(A-2B).
Comparando coeficientes:
A+B=5,\quad A-2B=-1
resolvendo, obtemos B=2 e A=3. Logo
f(x)=\frac{3}{x-2}+\frac{2}{x+1}.

Passo 3

Reescrevemos cada parcela como série geométrica em x.
Para \frac{3}{x-2} fazemos
\frac{3}{x-2}=-\frac{3}{2}\,\frac{1}{1-\frac{x}{2}} =-\frac{3}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)^{n} =\sum_{n=0}^{\infty}\biggl(-\frac{3}{2^{n+1}}\biggr)x^{n},
válido para \lvert x/2\rvert<1, isto é, \lvert x\rvert<2.
Para \frac{2}{x+1} usamos
\frac{2}{x+1}=2\cdot\frac{1}{1+ x} =2\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{n},
válido para \lvert x\rvert<1.

Passo 4

Como a série total converge quando convergem ambas parcelas, o raio de convergência é dado pela interseção \lvert x\rvert<2 e \lvert x\rvert<1, ou seja \lvert x\rvert<1. Somando termo a termo, obtemos
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\biggl(-\frac{3}{2^{n+1}}+2(-1)^{n}\biggr)x^{n}.

Resposta

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(2(-1)^{n}-\tfrac{3}{2^{n+1}}\Bigr)x^{n}, \quad\text{para }\lvert x\rvert<1.

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