Descubra qual é a EDO que possui as soluções:
(b) y=c_{1} e^{-3 x} \cos (5 x)+c_{2} e^{-3 x} \operatorname{sen}(5 x)

Passo 1

O enunciado nos dá a solução geral
y = c_{1}e^{-3x}\cos(5x) + c_{2}e^{-3x}\sin(5x),
o que indica que a EDO é uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Sabemos que, quando as raízes do polinômio característico são \alpha\pm \beta i, a solução geral é
y = C_{1}e^{\alpha x}\cos(\beta x) + C_{2}e^{\alpha x}\sin(\beta x).
Aqui, portanto, \alpha = -3 e \beta = 5.

Passo 2

As raízes do polinômio característico são
r = \alpha \pm \beta i = -3 \pm 5i.

Passo 3

O polinômio característico obtém-se pelo produto
(r -(-3+5i))\,(r -(-3-5i)) = (r+3-5i)(r+3+5i) = (r+3)^{2} + 5^{2} = r^{2} + 6r + 34.

Passo 4

Substituímos r^{2} por y'', r por y' e o termo constante por y. Assim, a EDO correspondente é
y'' + 6y' + 34y = 0.

Passo 5

Para checar, basta derivar y duas vezes e verificar que, ao substituir em y'' +6y' +34y, obteremos zero por construção (já que usamos as raízes certas).

Resposta

y'' + 6y' + 34y = 0.

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