Descubra qual é a EDO que possui as soluções:
(c) y=c_{1} e^{4 x}+c_{2} e^{-3 x}

Passo 1

O enunciado pede a EDO cuja solução geral é
y = c_{1}e^{4x} + c_{2}e^{-3x}.
Isso indica que estamos diante de uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para encontrar essa EDO, vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Como as soluções são e^{4x} e e^{-3x}, a equação característica associada deve ter raízes r=4 e r=-3. Logo, o polinômio característico é
(r - 4)(r + 3) = 0.
Fazendo a multiplicação, obtemos
r^2 - r - 12 = 0.

Passo 3

A partir do polinômio característico r^2 - r - 12 = 0, a forma padrão da EDO é
y'' - y' - 12\,y = 0.

Resposta

A equação diferencial cuja solução geral é y = c_{1}e^{4x} + c_{2}e^{-3x} é
y'' - y' - 12y = 0.

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