Toda EDO homogênea de coeficientes constantes de ordem 2 ou maior possui um polinômio característico. E de acordo com as raízes desse polinômio característico podemos deduzir como será a solução da EDO. Sendo assim, diga qual é a ordem da EDO e sua solução, de acordo com as raízes do seu polinômio característico:
(a) \lambda_{1}=2, \lambda_{2}=-5, \lambda_{3}=8

Passo 1

O enunciado nos dá as raízes do polinômio característico de uma EDO homogênea de coeficientes constantes: \lambda_{1}=2, \lambda_{2}=-5 e \lambda_{3}=8. Como há três raízes (todas distintas), a ordem da EDO é 3.

Passo 2

Para uma EDO homogênea de ordem 3 com raízes reais e distintas \lambda_{1}, \lambda_{2} e \lambda_{3}, a solução geral é dada por
y(x)=C_{1}e^{\lambda_{1}x}+C_{2}e^{\lambda_{2}x}+C_{3}e^{\lambda_{3}x}.
Substituindo \lambda_{1}=2, \lambda_{2}=-5 e \lambda_{3}=8, obtemos a forma específica da solução.

Resposta

Ordem: 3
Solução geral:
y(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-5x}+C_{3}e^{8x}.

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