Descubra qual é a EDO que possui as soluções:
(a) y=c_{1} x e^{-x}+c_{2} e^{-x}

Passo 1

O enunciado pede a EDO cuja solução geral é
y = c_{1}\,x\,e^{-x} + c_{2}\,e^{-x}.
Como aparecem dois constantes arbitrárias, trata-se de uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar a relação entre soluções da forma e^{r x} e as raízes do polinômio característico.

Passo 2

Observamos que uma das soluções é e^{-x}. Isso indica que r=-1 é raiz do polinômio característico. Além disso, como aparece x\,e^{-x}, sabemos que a raiz r=-1 tem multiplicidade 2 (em geral, a segunda solução independente fica multiplicada por x quando a raiz é repetida).

Passo 3

Portanto, o polinômio característico deve ser
(r + 1)^2 = 0
que, ao expandir, dá
r^2 + 2r + 1 = 0.

Passo 4

A EDO homogênea de segunda ordem associada a esse polinômio característico é
y'' + 2y' + y = 0.

Resposta

y'' + 2y' + y = 0

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