Resolva os problemas de valores iniciais abaixo:
(a) \left\{\begin{array}{l}49 y^{\prime \prime}+42 y^{\prime}+9 y=0 \\\ y(0)=4 \\\ y^{\prime}(0)=-5\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
49\,y'' + 42\,y' + 9\,y = 0, \quad y(0)=4,\quad y'(0)=-5.
O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada:
49\,r^2 + 42\,r + 9 = 0.

Passo 3

Calculamos o discriminante:
\Delta = 42^2 - 4\cdot49\cdot9 = 1764 - 1764 = 0,
logo há uma raiz dupla.

Passo 4

A raiz é
r = -\frac{42}{2\cdot49} = -\frac{3}{7}.
Para raiz dupla, a solução geral é
y(x) = \bigl(C_1 + C_2\,x\bigr)e^{-\tfrac{3}{7}x}.

Passo 5

Derivando,
y'(x) = \bigl(C_2\bigr)e^{-\tfrac{3}{7}x} + \bigl(C_1 + C_2\,x\bigr)\Bigl(-\tfrac{3}{7}\Bigr)e^{-\tfrac{3}{7}x} = \bigl(C_2 - \tfrac{3}{7}C_1 - \tfrac{3}{7}C_2\,x\bigr)e^{-\tfrac{3}{7}x}.

Passo 6

Aplicando y(0)=4:
C_1 = 4.
Aplicando y'(0)=-5:
C_2 - \tfrac{3}{7}C_1 = -5 \;\Longrightarrow\; C_2 - \tfrac{3}{7}\cdot4 = -5 \;\Longrightarrow\; C_2 = -5 + \tfrac{12}{7} = -\tfrac{23}{7}.

Resposta

y(x) = \Bigl(4 - \tfrac{23}{7}\,x\Bigr)e^{-\tfrac{3}{7}x}.

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