Resolva as EDO’s:
(h) y^{\prime \prime}+9 y=7 \operatorname{sen}(3 x)-8 \cos (3 x)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO
y'' + 9y = 7\sin(3x) - 8\cos(3x).
Trata-se de uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos primeiro resolver a parte homogênea e depois buscar uma solução particular por coeficientes a determinar.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' + 9y = 0.
A equação característica é
r^2 + 9 = 0,
cuja solução é r = \pm 3i. Portanto a solução homogênea é
y_h = C_1\cos(3x) + C_2\sin(3x).

Passo 3

Como o termo não homogêneo 7\sin(3x)-8\cos(3x) tem a mesma frequência da solução homogênea, fazemos o palpite multiplicado por x:
y_p = x\bigl(C\cos(3x) + D\sin(3x)\bigr).
Usando a regra do produto, calculamos
y_p' = C\cos(3x) + D\sin(3x) + x\bigl(-3C\sin(3x)+3D\cos(3x)\bigr),
y_p'' = -3C\sin(3x)+3D\cos(3x) + \bigl(-3C\sin(3x)+3D\cos(3x)\bigr) + x\bigl(-9C\cos(3x)-9D\sin(3x)\bigr),
que simplifica para
y_p'' = -6C\sin(3x)+6D\cos(3x) + x\bigl(-9C\cos(3x)-9D\sin(3x)\bigr).
Logo,
y_p'' + 9y_p = -6C\sin(3x)+6D\cos(3x).

Passo 4

Igualando ao lado não homogêneo, obtemos
-6C = 7, \quad 6D = -8,
cuja solução é
C = -\tfrac{7}{6}, \quad D = -\tfrac{4}{3}.

Passo 5

Assim, a solução particular é
y_p = -\frac{7}{6}\,x\cos(3x) - \frac{4}{3}\,x\sin(3x),
e a solução geral da EDO é
y(x) = C_1\cos(3x) + C_2\sin(3x) - \frac{7}{6}\,x\cos(3x) - \frac{4}{3}\,x\sin(3x).

Resposta

y(x) = C_1\cos(3x) + C_2\sin(3x) - \frac{7}{6}\,x\cos(3x) - \frac{4}{3}\,x\sin(3x).

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