Toda EDO homogênea de coeficientes constantes de ordem 2 ou maior possui um polinômio característico. E de acordo com as raízes desse polinômio característico podemos deduzir como será a solução da EDO. Sendo assim, diga qual é a ordem da EDO e sua solução, de acordo com as raízes do seu polinômio característico:
Passo 1
O enunciado dá as raízes do polinômio característico de uma EDO linear homogênea de coeficientes constantes:
,
,
. Ele pede que eu diga qual é a ordem da EDO e qual é a solução geral correspondente a essas raízes.
Informações relevantes fornecidas:
- As raízes são
(aparece duas vezes) e (aparece uma vez). - Devemos usar a relação entre raízes do polinômio característico e soluções da EDO homogênea.
Passo 2
Determinar a ordem da EDO a partir das raízes: a ordem de uma EDO linear homogênea de coeficientes constantes é igual ao grau do polinômio característico, que é o número de raízes contadas com multiplicidade. Aqui temos três raízes contando multiplicidade (
,
, e novamente
), logo a ordem é
.
Pequena explicação didática: para uma EDO de ordem
o polinômio característico tem grau
. Cada raiz (contada com multiplicidade) corresponde a uma solução independente da forma
ou suas variantes quando a raiz é repetida. Então número de raízes = ordem da EDO.
Passo 3
Explicar o efeito de raízes repetidas (regra que vamos usar): se
é raiz do polinômio característico com multiplicidade
, então as funções
são soluções independentes da EDO e entram na solução geral.
Motivação simples e intuitiva: ao aplicar o operador diferencial linear com coeficientes constantes (cujo polinômio característico é
) em
obtemos
. Se
então
é solução. Quando
é raiz de multiplicidade maior, as derivadas sucessivas com respeito a
geram as soluções com fatores
. Não precisa decorar isso, basta lembrar da regra prática acima — é o que você usará na prova.
Passo 4
Identificar multiplicidades para aplicar a regra: aqui
é raiz de multiplicidade
(pois aparece duas vezes) e
é raiz simples (multiplicidade
).
Aplicando a regra do passo anterior:
- Para
(multiplicidade ) obtemos as soluções e . - Para
(multiplicidade ) obtemos a solução .
Estas três funções são linearmente independentes e formam uma base das soluções da EDO de ordem 3.
Passo 5
Construir a solução geral: como a EDO é linear e homogênea, a solução geral é uma combinação linear das soluções independentes encontradas. Logo a solução geral é
onde
são constantes arbitrárias (determinariam valores iniciais se tivessem sido dados).
Passo 6
(Comentário motivador para você) — lembra que na prova, ao ver as raízes do polinômio característico, o passo é: contar multiplicidades para saber a ordem; para cada raiz simples coloca
; para cada raiz de multiplicidade
coloca
. Pronto, é mecânico e rápido com prática. Você já tá quase lá — respira e confia!
Resposta
Ordem:
Solução geral:
Solução geral: