Toda EDO homogênea de coeficientes constantes de ordem 2 ou maior possui um polinômio característico. E de acordo com as raízes desse polinômio característico podemos deduzir como será a solução da EDO. Sendo assim, diga qual é a ordem da EDO e sua solução, de acordo com as raízes do seu polinômio característico:
\lambda_{1}=-4, \lambda_{2}=7, \lambda_{3}=-4

Passo 1

O enunciado dá as raízes do polinômio característico de uma EDO linear homogênea de coeficientes constantes: \lambda_{1}=-4, \lambda_{2}=7, \lambda_{3}=-4. Ele pede que eu diga qual é a ordem da EDO e qual é a solução geral correspondente a essas raízes.
Informações relevantes fornecidas:
  • As raízes são \lambda=-4 (aparece duas vezes) e \lambda=7 (aparece uma vez).
  • Devemos usar a relação entre raízes do polinômio característico e soluções da EDO homogênea.

Passo 2

Determinar a ordem da EDO a partir das raízes: a ordem de uma EDO linear homogênea de coeficientes constantes é igual ao grau do polinômio característico, que é o número de raízes contadas com multiplicidade. Aqui temos três raízes contando multiplicidade ( -4, 7, e novamente -4), logo a ordem é \,3.
Pequena explicação didática: para uma EDO de ordem n o polinômio característico tem grau n. Cada raiz (contada com multiplicidade) corresponde a uma solução independente da forma e^{\lambda x} ou suas variantes quando a raiz é repetida. Então número de raízes = ordem da EDO.

Passo 3

Explicar o efeito de raízes repetidas (regra que vamos usar): se \lambda=r é raiz do polinômio característico com multiplicidade m, então as funções
e^{rx},\; x e^{rx},\; x^{2}e^{rx},\;\dots,\; x^{m-1}e^{rx}
são soluções independentes da EDO e entram na solução geral.
Motivação simples e intuitiva: ao aplicar o operador diferencial linear com coeficientes constantes (cujo polinômio característico é p(\lambda)) em e^{rx} obtemos p(r)e^{rx}. Se p(r)=0 então e^{rx} é solução. Quando r é raiz de multiplicidade maior, as derivadas sucessivas com respeito a r geram as soluções com fatores x, x^{2},\dots. Não precisa decorar isso, basta lembrar da regra prática acima — é o que você usará na prova.

Passo 4

Identificar multiplicidades para aplicar a regra: aqui \lambda=-4 é raiz de multiplicidade 2 (pois aparece duas vezes) e \lambda=7 é raiz simples (multiplicidade 1).
Aplicando a regra do passo anterior:
  • Para \lambda=-4 (multiplicidade 2) obtemos as soluções \;e^{-4x}\; e \;x e^{-4x}\;.
  • Para \lambda=7 (multiplicidade 1) obtemos a solução \;e^{7x}\;.
Estas três funções são linearmente independentes e formam uma base das soluções da EDO de ordem 3.

Passo 5

Construir a solução geral: como a EDO é linear e homogênea, a solução geral é uma combinação linear das soluções independentes encontradas. Logo a solução geral é
y(x)=C_{1}e^{-4x}+C_{2}x e^{-4x}+C_{3}e^{7x},
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes arbitrárias (determinariam valores iniciais se tivessem sido dados).

Passo 6

(Comentário motivador para você) — lembra que na prova, ao ver as raízes do polinômio característico, o passo é: contar multiplicidades para saber a ordem; para cada raiz simples coloca e^{\lambda x}; para cada raiz de multiplicidade m coloca e^{\lambda x}, x e^{\lambda x}, \dots, x^{m-1} e^{\lambda x}. Pronto, é mecânico e rápido com prática. Você já tá quase lá — respira e confia!

Resposta

Ordem: 3
Solução geral: y(x)=C_{1}e^{-4x}+C_{2}x e^{-4x}+C_{3}e^{7x}

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