Um jardineiro planta roseiras em filas: 3 na primeira fila; 4 na segunda; 5 na terceira; e assim em diante. Sempre ele planta uma roseira a mais na fila seguinte. Ele plantou um total de 150 roseiras. Determinar o total de filas e o número de roseiras na última fila.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Na primeira fila há
roseiras. - Na segunda fila há
roseiras. - Na terceira fila há
roseiras. - A cada fila seguinte ele planta exatamente uma roseira a mais do que na fila anterior.
- O total plantado foi
roseiras.
O enunciado pede:
- Determinar o total de filas (quantas filas foram plantadas).
- Determinar quantas roseiras havia na última fila.
Passo 2
Modelo matemático (definições e notação). Vamos traduzir isso para uma sequência aritmética e usar fórmulas claras.
- Seja
o número de roseiras na primeira fila. Aqui . - Seja
a diferença comum entre termos consecutivos. Aqui (pois aumenta uma roseira por fila). - Seja
o número de filas (número de termos da sequência). É o que queremos achar. - Seja
o número de roseiras da última fila (o -ésimo termo). Também queremos achar . - O total de roseiras é a soma dos primeiros
termos, que chamamos de . O enunciado dá .
Fórmulas úteis para progressão aritmética (explicando cada coisa):
- Fórmula do
-ésimo termo: . - Aqui
é o número de roseiras na fila . -
é o primeiro termo ( ). -
é a diferença entre filas ( ). -
conta quantas vezes somamos a diferença para ir do primeiro ao -ésimo termo.
- Aqui
- Fórmula da soma dos
primeiros termos: - Essa fórmula vem da observação clássica de Gauss: soma do primeiro com o último é constante (
), e há termos, então a soma média é e a soma total é vezes essa média. A forma acima é equivalente e usa e .
- Essa fórmula vem da observação clássica de Gauss: soma do primeiro com o último é constante (
Agora vamos aplicar essas fórmulas com os dados que temos.
Passo 3
Usar a fórmula da soma com os valores conhecidos e igualar a
.
Substituindo e
em
Substituindo
obtemos
Fazendo as contas dentro do parêntese:
Logo a equação fica
Passo 4
Transformar a equação numa forma polinomial e simplificar:
Multiplicando ambos os lados por :
Multiplicando ambos os lados por
Expandindo:
Colocando tudo no lado esquerdo:
Temos uma equação quadrática em
. Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para a equação
temos:
- Coeficiente
. - Coeficiente
. - Coeficiente
.
O discriminante é
A raiz quadrada de
é
(pois
).
As raízes são
Isso dá duas opções:
Passo 5
Interpretação das raízes:
representa o número de filas, que deve ser um número inteiro positivo. Portanto descartamos
(não faz sentido ter número negativo de filas). Ficamos com
Passo 6
Calcular o número de roseiras na última fila usando a fórmula do termo geral:
Substituindo
,
e
:
Passo 7
Verificação rápida do somatório para ter certeza (checar é sempre bom em prova):
Usando ,
Usando
confere com o total dado no enunciado.
Resposta
Total de filas:
Número de roseiras na última fila:
Número de roseiras na última fila: