Um jardineiro planta roseiras em filas: 3 na primeira fila; 4 na segunda; 5 na terceira; e assim em diante. Sempre ele planta uma roseira a mais na fila seguinte. Ele plantou um total de 150 roseiras. Determinar o total de filas e o número de roseiras na última fila.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Na primeira fila há \,3\, roseiras.
  • Na segunda fila há \,4\, roseiras.
  • Na terceira fila há \,5\, roseiras.
  • A cada fila seguinte ele planta exatamente uma roseira a mais do que na fila anterior.
  • O total plantado foi \,150\, roseiras.
O enunciado pede:
  • Determinar o total de filas (quantas filas foram plantadas).
  • Determinar quantas roseiras havia na última fila.

Passo 2

Modelo matemático (definições e notação). Vamos traduzir isso para uma sequência aritmética e usar fórmulas claras.
  • Seja \,a_1 o número de roseiras na primeira fila. Aqui \,a_1 = 3.
  • Seja \,d a diferença comum entre termos consecutivos. Aqui \,d = 1 (pois aumenta uma roseira por fila).
  • Seja \,n o número de filas (número de termos da sequência). É o que queremos achar.
  • Seja \,a_n o número de roseiras da última fila (o n-ésimo termo). Também queremos achar \,a_n.
  • O total de roseiras é a soma dos primeiros \,n termos, que chamamos de \,S_n. O enunciado dá \,S_n = 150.
Fórmulas úteis para progressão aritmética (explicando cada coisa):
  • Fórmula do n-ésimo termo: \,a_n = a_1 + (n-1)d.
    • Aqui \,a_n é o número de roseiras na fila n.
    • \,a_1 é o primeiro termo ( 3).
    • \,d é a diferença entre filas ( 1).
    • (n-1) conta quantas vezes somamos a diferença para ir do primeiro ao n-ésimo termo.
  • Fórmula da soma dos n primeiros termos: S_n = \frac{n}{2}\bigl(2a_1 + (n-1)d\bigr).
    • Essa fórmula vem da observação clássica de Gauss: soma do primeiro com o último é constante ( a_1+a_n), e há n termos, então a soma média é \frac{a_1+a_n}{2} e a soma total é n vezes essa média. A forma acima é equivalente e usa \,a_1 e \,d.
Agora vamos aplicar essas fórmulas com os dados que temos.

Passo 3

Usar a fórmula da soma com os valores conhecidos e igualar a \,150.
Substituindo \,a_1=3 e \,d=1 em
S_n = \frac{n}{2}\bigl(2a_1 + (n-1)d\bigr),
obtemos
150 = \frac{n}{2}\bigl(2\cdot 3 + (n-1)\cdot 1\bigr).
Fazendo as contas dentro do parêntese:
2\cdot 3 + (n-1)\cdot 1 = 6 + n - 1 = n + 5.
Logo a equação fica
150 = \frac{n}{2}\,(n+5).

Passo 4

Transformar a equação numa forma polinomial e simplificar:
Multiplicando ambos os lados por 2:
300 = n(n+5).
Expandindo:
n^2 + 5n = 300.
Colocando tudo no lado esquerdo:
n^2 + 5n - 300 = 0.
Temos uma equação quadrática em n. Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para a equação \,n^2 + 5n - 300 = 0 temos:
  • Coeficiente a = 1.
  • Coeficiente b = 5.
  • Coeficiente c = -300.
O discriminante é
\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4\cdot 1 \cdot (-300) = 25 + 1200 = 1225.
A raiz quadrada de \,\Delta é \sqrt{1225} = 35 (pois 35^2 = 1225).
As raízes são
n = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5 \pm 35}{2}.
Isso dá duas opções:
n_1 = \frac{-5 + 35}{2} = \frac{30}{2} = 15, \qquad n_2 = \frac{-5 - 35}{2} = \frac{-40}{2} = -20.

Passo 5

Interpretação das raízes: \,n representa o número de filas, que deve ser um número inteiro positivo. Portanto descartamos \,n_2 = -20 (não faz sentido ter número negativo de filas). Ficamos com
n = 15.

Passo 6

Calcular o número de roseiras na última fila usando a fórmula do termo geral:
a_n = a_1 + (n-1)d.
Substituindo \,a_1=3, \,n=15 e \,d=1:
a_{15} = 3 + (15-1)\cdot 1 = 3 + 14 = 17.

Passo 7

Verificação rápida do somatório para ter certeza (checar é sempre bom em prova):
Usando \,S_n = \dfrac{n(a_1+a_n)}{2},
S_{15} = \frac{15\,(3+17)}{2} = \frac{15\cdot 20}{2} = 15\cdot 10 = 150,
confere com o total dado no enunciado.

Resposta

Total de filas: 15
Número de roseiras na última fila: 17

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