Descubra o termo geral a_{n} das sequências abaixo:
e) (1,0,1,0,1,0, \cdots).

Passo 1

O enunciado pede o termo geral \,a_{n}\, da sequência
(1,0,1,0,1,0,\dots)
Isso envolve reconhecer o padrão de alternância entre 1 e 0 e expressá-lo em função de n.

Passo 2

Note que os termos de índice ímpar valem 1\) e os de índice par valem \(0\). Em outras palavras, \[a_{n} = \begin{cases} 1, & n\text{ ímpar},\\\\ 0, & n\text{ par}. \end{cases}
Aqui usamos o conceito de paridade de (n].

Passo 3

Para transformar esse caso em uma única fórmula, lembramos que
(-1)^{n} = \begin{cases} 1, & n\text{ par},\\\\ -1, & n\text{ ímpar}. \end{cases}í
Queremos uma expressão que seja 1 quando (-1)^{n}=-1 (ou seja, n ímpar) e 0 quando (-1)^{n}=1 (ou seja, n par).

Passo 4

Observe que
\frac{1-(-1)^{n}}{2}
vale
\frac{1-1}{2}=0\quad\text{se }(-1)^{n}=1, \qquad \frac{1-(-1)}{2}=\frac{2}{2}=1\quad\text{se }(-1)^{n}=-1.
Isso coincide exatamente com o padrão desejado.

Resposta

a_{n} = \frac{1-(-1)^{n}}{2}.

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