Resolva os problemas: Métodos de Integração
\int \frac{d x}{x\left(x^{2}-x+1\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{dx}{x\bigl(x^{2}-x+1\bigr)^{2}},
usando métodos de integração — em particular, decomposição em frações parciais e alguns casos padrão de integrais envolvendo \arctan.

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais da forma
\frac{1}{x\,(x^{2}-x+1)^{2}} =\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^{2}-x+1}+\frac{Dx+E}{\bigl(x^{2}-x+1\bigr)^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por x\,(x^{2}-x+1)^{2} e comparando coeficientes de potências de x, obtemos um sistema para A,B,C,D,E.

Passo 3

Resolvendo o sistema de coeficientes encontramos
A=1,\quad B=-1,\quad C=1,\quad D=-1,\quad E=1.
Logo
\frac{1}{x\,(x^{2}-x+1)^{2}} =\frac{1}{x}+\frac{-\,x+1}{x^{2}-x+1}+\frac{-\,x+1}{\bigl(x^{2}-x+1\bigr)^{2}}.

Passo 4

Escrevemos a integral como soma de três termos:
\int \frac{dx}{x\,(x^{2}-x+1)^{2}} =\int \frac{dx}{x} +\int \frac{-\,x+1}{x^{2}-x+1}\,dx +\int \frac{-\,x+1}{\bigl(x^{2}-x+1\bigr)^{2}}\,dx.

Passo 5

Para \displaystyle I_{1}=\int \frac{-\,x+1}{x^{2}-x+1}\,dx,
notamos que Q=x^{2}-x+1 tem derivada Q'=2x-1. Escrevendo -x+1=-\tfrac12(2x-1)+\tfrac12,
vemos
I_{1} =-\tfrac12\int\frac{Q'}{Q}\,dx+\tfrac12\int\frac{dx}{Q} =-\tfrac12\ln Q+\tfrac12\int\frac{dx}{(x-\tfrac12)^{2}+(\tfrac{\sqrt3}{2})^{2}}.
E
\int\frac{dx}{(x-\tfrac12)^{2}+(\tfrac{\sqrt3}{2})^{2}} =\frac{2}{\sqrt3}\arctan\!\Bigl(\frac{2x-1}{\sqrt3}\Bigr).
Assim
I_{1} =-\tfrac12\ln\bigl(x^{2}-x+1\bigr) +\frac{1}{\sqrt3}\arctan\!\Bigl(\frac{2x-1}{\sqrt3}\Bigr).

Passo 6

Para \displaystyle I_{2}=\int \frac{-\,x+1}{(x^{2}-x+1)^{2}}\,dx,
repetimos o truque -x+1= -\tfrac12Q'+\tfrac12 e obtemos
I_{2} =-\tfrac12\int\frac{Q'}{Q^{2}}\,dx+\tfrac12\int\frac{dx}{Q^{2}} =\frac{1}{2Q}+\tfrac12\int\frac{dx}{\bigl((x-\tfrac12)^{2}+(\tfrac{\sqrt3}{2})^{2}\bigr)^{2}}.
Usando a fórmula
\int\frac{dt}{(t^{2}+k^{2})^{2}} =\frac{t}{2k^{2}(t^{2}+k^{2})} +\frac{1}{2k^{3}}\arctan\!\Bigl(\frac{t}{k}\Bigr),
com t=x-\tfrac12 e k=\tfrac{\sqrt3}{2}, obtemos após simplificação
I_{2} =\frac{x+1}{3\,(x^{2}-x+1)} +\frac{2}{3\sqrt3}\arctan\!\Bigl(\frac{2x-1}{\sqrt3}\Bigr).

Passo 7

Somando todos os termos (e incluindo \int dx/x=\ln|x|), temos
\int \frac{dx}{x\,(x^{2}-x+1)^{2}} =\ln|x| -\tfrac12\ln\bigl(x^{2}-x+1\bigr) +\frac{x+1}{3\,(x^{2}-x+1)} +\frac{1}{\sqrt3}\arctan\!\Bigl(\frac{2x-1}{\sqrt3}\Bigr) +\frac{2}{3\sqrt3}\arctan\!\Bigl(\frac{2x-1}{\sqrt3}\Bigr) + C.
Os dois termos em \arctan se somam para \tfrac{5}{3\sqrt3}\arctan(\tfrac{2x-1}{\sqrt3}).

Resposta

\int \frac{dx}{x\,(x^{2}-x+1)^{2}} =\ln|x| -\frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}-x+1\bigr) +\frac{x+1}{3\,(x^{2}-x+1)} +\frac{5}{3\sqrt3}\,\arctan\!\Bigl(\frac{2x-1}{\sqrt3}\Bigr) + C.

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