Com os resultados listados acima, estabeleça se as sequências \left(a_{n}\right) abaixo convergem ou divergem, dizendo qual critério usou. Quando for possível calcule o limite da sequência.
b) a_{n}=\frac{1+(-1)^{n}}{n}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da sequência
a_{n} = \frac{1 + (-1)^{n}}{n}
e, quando convergir, calcular o seu limite. O conteúdo aqui é limite de sequência real e usaremos o Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem) para mostrar que a_n\to0.

Passo 2

Observamos que para todo n\in\mathbb{N} vale
\bigl|1+(-1)^{n}\bigr|\le2,
pois (-1)^n só assume os valores 1 ou -1. Logo
|a_n| \;=\;\frac{\bigl|1+(-1)^{n}\bigr|}{n} \;\le\;\frac{2}{n}.

Passo 3

Como
\lim_{n\to\infty}\frac{2}{n} = 0,
pelo Teorema do Confronto temos
\lim_{n\to\infty}|a_n| = 0 \quad\Longrightarrow\quad \lim_{n\to\infty}a_n = 0.

Resposta

A sequência \displaystyle a_n=\frac{1+(-1)^n}{n} é convergente e tem limite
\lim_{n\to\infty}a_n = 0.
Critério usado: Teorema do Confronto.

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