Resolva os problemas: Métodos de Integração
\int \frac{d x}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+4\right)}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \frac{dx}{\bigl(x^{2}+1\bigr)\bigl(x^{2}+4\bigr)}.
O conteúdo é decomposição em frações parciais para integrar funções racionais cujos denominadores são quadráticos irreduzíveis. Precisamos escrever a fração como soma de termos mais simples e depois usar a fórmula
\int \frac{dx}{x^{2}+a^{2}} = \frac{1}{a}\,\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{a}\bigr) + C.

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais:
\frac{1}{(x^{2}+1)(x^{2}+4)} = \frac{A}{x^{2}+1} + \frac{B}{x^{2}+4}.
Multiplicando por (x^{2}+1)(x^{2}+4), obtemos
1 = A\,(x^{2}+4) + B\,(x^{2}+1) = (A+B)\,x^{2} + (4A + B).

Passo 3

Igualando coeficientes em x^{2}\) e termo constante, vem o sistema \[\begin{cases} A + B = 0,\\\\ 4A + B = 1. \end{cases}
Da primeira equação B = -A\]. Substituindo na segunda, \[4A - A = 1 \quad\Longrightarrow\quad 3A = 1 \quad\Longrightarrow\quad A = \tfrac{1}{3},\] e portanto \(B = -\tfrac{1}{3}.

Passo 4

Assim a integral fica
\int \frac{dx}{(x^{2}+1)(x^{2}+4)} = \frac{1}{3}\int \frac{dx}{x^{2}+1} \;-\;\frac{1}{3}\int \frac{dx}{x^{2}+4}.
Agora usamos a fórmula \int dx/(x^{2}+a^{2}) = \tfrac{1}{a}\arctan(x/a):

Passo 5

\frac{1}{3}\int \frac{dx}{x^{2}+1} = \frac{1}{3}\,\arctan(x), \qquad \frac{1}{3}\int \frac{dx}{x^{2}+4} = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\,\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) = \frac{1}{6}\,\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).
Portanto
\int \frac{dx}{(x^{2}+1)(x^{2}+4)} = \frac{1}{3}\,\arctan(x) - \frac{1}{6}\,\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) + C.

Resposta

\boxed{ \int \frac{dx}{(x^{2}+1)(x^{2}+4)} = \frac{1}{3}\,\arctan(x) - \frac{1}{6}\,\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) + C. }

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