Quais das sequências ( a_{n} ) abaixo convergem e quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.
h) a_{n}=\frac{4^{n+1}+3^{n}}{4^{n}}

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência a_{n} = \frac{4^{n+1} + 3^{n}}{4^{n}}
e pede para verificar se ela converge ou diverge, e em caso de convergência, encontrar o limite. O conteúdo aqui é o cálculo de limites de sequências envolvendo potências.

Passo 2

Para simplificar, dividimos o numerador e o denominador por 4^{n}:
a_{n} = \frac{4^{n+1}}{4^{n}} + \frac{3^{n}}{4^{n}} = 4 + \Bigl(\frac{3}{4}\Bigr)^{n}.

Passo 3

Repare que \bigl|\tfrac{3}{4}\bigr|<1. Pela propriedade de que potências de um número com módulo menor que 1 tendem a zero, temos
\lim_{n\to\infty}\Bigl(\frac{3}{4}\Bigr)^{n} = 0.

Passo 4

Portanto, o limite de a_{n} é
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \lim_{n\to\infty}\Bigl(4 + \bigl(\tfrac{3}{4}\bigr)^{n}\Bigr) = 4 + 0 = 4.
Isso mostra que a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e seu limite é 4.

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