Descubra a Transformada Inversa de Laplace:
\mathcal{L}^{-1}\left(\frac{s-7}{(s-7)^{2}-16}\right)

Passo 1

O enunciado pede \mathcal{L}^{-1}\bigl(\tfrac{s-7}{(s-7)^{2}-16}\bigr). Isso é uma transformada inversa de Laplace com “deslocamento” em s. Vamos usar o teorema do deslocamento (shifting theorem): se \mathcal{L}\{g(t)\}(s)=G(s), então \mathcal{L}\{e^{at}g(t)\}(s)=G(s-a).

Passo 2

Definimos
p = s - 7,
então
\frac{s-7}{(s-7)^{2}-16} = \frac{p}{p^2 - 4^2} = G(p).
Aqui G(p)=\tfrac{p}{p^2-16}.

Passo 3

Reconhecemos que
\mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(at)\}(p) = \frac{p}{p^2 - a^2}.
Comparando com G(p)=\tfrac{p}{p^2-16}, vemos que a=4. Logo
g(t) = \operatorname{cosh}(4t).

Passo 4

Pelo teorema do deslocamento, como nosso F(s)=G(s-7), a inversa é
f(t) = e^{7t}\,g(t) = e^{7t}\operatorname{cosh}(4t).

Resposta

\mathcal{L}^{-1}\Bigl(\frac{s-7}{(s-7)^{2}-16}\Bigr) = e^{7t}\operatorname{cosh}(4t) = \tfrac12\bigl(e^{11t}+e^{3t}\bigr).

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