Descubra a Transformada Inversa de Laplace:
\mathcal{L}^{-1}\left(\frac{2 s}{s^{2}+4 s+13}\right)

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
\frac{2s}{s^{2}+4s+13}
ou seja, achar f(t) tal que
\mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{2s}{s^{2}+4s+13}.
O conteúdo envolve completar quadrado e usar as fórmulas conhecidas
\mathcal{L}\{e^{-at}\cos(bt)\}=\frac{s+a}{(s+a)^{2}+b^{2}} e
\mathcal{L}\{e^{-at}\sin(bt)\}=\frac{b}{(s+a)^{2}+b^{2}}.

Passo 2

Vamos completar o quadrado do denominador:
s^{2}+4s+13 = (s+2)^{2} + 13 - 4 = (s+2)^{2}+9.

Passo 3

Reescrevemos o numerador 2s em função de s+2:
2s = 2\bigl((s+2)-2\bigr) = 2(s+2) - 4.
Então
\frac{2s}{s^{2}+4s+13} = \frac{2(s+2)-4}{(s+2)^{2}+9} = \frac{2(s+2)}{(s+2)^{2}+9} \;-\;\frac{4}{(s+2)^{2}+9}.

Passo 4

Observamos que
\frac{4}{(s+2)^{2}+9} = \frac{4}{(s+2)^{2}+3^{2}} = \frac{4}{3}\,\frac{3}{(s+2)^{2}+3^{2}}.

Passo 5

Agora aplicamos as fórmulas de transformada inversa:
  1. \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{s+2}{(s+2)^{2}+3^{2}}\Bigr\} = e^{-2t}\cos(3t).
  2. \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{3}{(s+2)^{2}+3^{2}}\Bigr\} = e^{-2t}\sin(3t).
    Logo,
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{2(s+2)}{(s+2)^{2}+9}\Bigr\} = 2\,e^{-2t}\cos(3t),
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{4}{(s+2)^{2}+9}\Bigr\} = \frac{4}{3}\,e^{-2t}\sin(3t).

Resposta

f(t) = 2\,e^{-2t}\cos(3t)\;-\;\frac{4}{3}\,e^{-2t}\sin(3t).

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