Descubra a Transformada Inversa de Laplace:
\mathcal{L}^{-1}\left(\frac{3}{(s-1)\left(s^{2}+4\right)}\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a transformada inversa de Laplace de
F(s)=\frac{3}{(s-1)\bigl(s^{2}+4\bigr)}.
O conteúdo principal aqui é decomposição em frações parciais para em seguida usar pares conhecidos de transformada de Laplace (como e^{at}, \cos, \sin).

Passo 2

Vamos escrever
\frac{3}{(s-1)(s^{2}+4)} = \frac{A}{s-1}+\frac{Bs+C}{s^{2}+4}.
Multiplicando ambos os lados por (s-1)(s^{2}+4), obtemos
3 = A\,(s^{2}+4)+(Bs+C)(s-1).
Expandindo o segundo termo:
A\,s^{2}+4A + B\,s^{2} - B\,s + C\,s - C = (A+B)\,s^{2} + (C - B)\,s + (4A - C).

Passo 3

Comparando coeficientes em s^{2}\), \(s\) e termo constante, temos o sistema \[\begin{cases} A+B = 0,\\\ C - B = 0,\\\\ 4A - C = 3. \end{cases}
Da primeira equação B=-A\]. Da segunda \(C=B=-A. Substituindo em 4A - C=3
4A - (-A) = 3 \quad\Longrightarrow\quad 5A = 3 \quad\Longrightarrow\quad A = \tfrac{3}{5},
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B = -\tfrac{3}{5}, \quad C = -\tfrac{3}{5}.

Passo 4

Reescrevendo F(s) com esses valores:
F(s) = \frac{3/5}{s-1} + \frac{-\tfrac{3}{5}\,s \;-\;\tfrac{3}{5}}{s^{2}+4}.
Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo, sabendo que
\mathcal{L}^{-1}\bigl\{\tfrac{1}{s-1}\bigr\}(t)=e^{t}, \quad \mathcal{L}^{-1}\bigl\{\tfrac{s}{s^{2}+4}\bigr\}(t)=\cos(2t), \quad \mathcal{L}^{-1}\bigl\{\tfrac{1}{s^{2}+4}\bigr\}(t)=\tfrac{1}{2}\sin(2t).

Passo 5

Juntando tudo,
f(t) = \frac{3}{5}\,e^{t} - \frac{3}{5}\,\cos(2t) - \frac{3}{5}\,\frac{1}{2}\,\sin(2t) = \frac{3}{5}e^{t} \;-\;\frac{3}{5}\cos(2t)\;-\;\frac{3}{10}\sin(2t).

Resposta

\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\tfrac{3}{(s-1)(s^{2}+4)}\Bigr\}(t) = \frac{3}{5}e^{t} - \frac{3}{5}\cos(2t) - \frac{3}{10}\sin(2t).

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