Desde o ponto P=(6,0) são traçadas perpendiculares aos lados de um triângulo cujos lados estão sobre as retas L1: 5 x-y-4=0, L2: y=1 e L3: x-y-4=0. Verificar que os pês destas perpendiculares são colineares e determinar a equação da reta que passa por esses pontos.

Passo 1

O enunciado dá o ponto P=(6,0) e um triângulo cujos lados estão sobre as retas
L1:5x - y - 4 = 0,
L2:y = 1,
L3:x - y - 4 = 0
A tarefa é traçar de P as perpendiculares a cada uma dessas retas, encontrar os pés A,B,C dessas perpendiculares, verificar que A,B,C são colineares e determinar a equação da reta que os contém.

Passo 2

Vamos achar o pé A da perpendicular de P em L1. Para isso, aplicamos a fórmula do pé de perpendicular em uma reta ax+by+c=0:
xA = xP - a,a,xP+b,yP+ca^2+b^2, yA = yP - b,a,xP+b,yP+ca^2+b^2
Aqui a=5, b=-1, c=-4, xP=6, yP=0. Calculamos
D = a,xP+b,yP+c = 5cdot6 +(-1)cdot0 - 4 = 26, a^2+b^2 = 25+1 = 26
Logo
xA = 6 - 5cdot2626 = 1, yA = 0 -(-1)cdot2626 = 1,
ou seja, A=(1,1).

Passo 3

O pé B da perpendicular de P em L2:y=1 é obtido projetando verticalmente P nessa reta. Portanto
B=(xP,1)=(6,1)

Passo 4

Para o pé C da perpendicular de P em L3:x-y-4=0, usamos de novo a fórmula com a=1, b=-1, c=-4, xP=6, yP=0. Calculamos
D = 1cdot6 +(-1)cdot0 -4 = 2, a^2+b^2 = 1+1 = 2,
de onde
xC = 6 - 1cdot22 = 5, yC = 0 -(-1)cdot22 = 1,
logo C=(5,1).

Passo 5

Observamos que
A=(1,1), B=(6,1), C=(5,1),
ou seja, todos têm segunda coordenada igual a 1. Portanto A,B,C são colineares e estão sobre a reta
y = 1

Resposta

A reta que passa pelos pés das perpendiculares é
y = 1

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