Encontre a equação da reta que está situada a 6 unidades do origem, que passa pelo ponto (10,0) e corta o semi-eixo positivo das ordenadas.

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma reta que (i) está a 6 unidades da origem, (ii) passa por (10,0) e (iii) corta o semieixo positivo das ordenadas. Vamos usar a forma reduzida da reta, a condição de passagem por ponto e a fórmula da distância de um ponto a uma reta.

Passo 2

Suponha a reta dada por
y = m x + b
Como ela passa por (10,0), temos
0 = mcdot 10 + b Longrightarrow b = -10m

Passo 3

Para usar a distância até a origem, escrevemos a reta em forma Ax+By+C=0. Substituindo b=-10m na reduzida, obtemos
m x - y - 10m = 0,
isto é, A=m, B=-1, C=-10m. A distância do ponto (0,0) à reta é
|Acdot 0 + Bcdot 0 + C|raizA^2+B^2 = | -10m |raizm^2+1 = 10|m|raizm^2+1
que deve ser igual a 6. Então
10|m| = 6raizm^2+1
Elevando ao quadrado e resolvendo,
100m^2 = 36(m^2+1) Longrightarrow 64m^2 = 36 Longrightarrow m^2 = 916
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m = pm 34

Passo 4

Falta garantir que a reta corte o semieixo positivo das ordenadas, ou seja, que o coeficiente linear b seja positivo. Como b=-10m, precisamos de
-10m > 0 Longrightarrow m<0
Portanto escolhemos m = -tfrac34 e então
b = -10l(-tfrac34r) = 304 = 152

Resposta

A equação da reta é
y = -34,x + 152

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