Deseja-se analisar o tempo médio gasto por estudantes na fila do restaurante universitário. Para tanto, após um conjunto de medidas, observou-se que o tempo médio gasto por 60 estudantes foi de 11 minutos. É sabido que o desvio padrão do tempo gasto por todos os estudantes da universidade, que corresponde à população nesse caso, é de 3,5 minutos. Diante disso:
(a) Obtenha um intervalo de confiança, de nível de confiança de 91 %, para a estimação do tempo médio gasto na fila do restaurante. Determine a respectiva margem de erro.
(b) Determine o nível de confiança necessário para se obter um novo intervalo de confiança com margem de erro igual à metade da margem de erro obtida no item (a).
(c) Assuma agora que o tempo médio populacional é conhecido e vale 12 minutos. Considere o tempo médio amostral calculado levando em conta 5 estudantes. Qual a probabilidade desse tempo médio amostral ser superior a 16 minutos?

Passo 1

O enunciado pede três coisas distintas; vamos listar tudo certinho para não nos perder:
  • Dados fornecidos:
    n=60,\quad \bar{x}=11,\quad \sigma=3{,}5.
    Aqui n é o tamanho da amostra, \bar{x} é a média amostral observada e \sigma é o desvio padrão da população (é informado que conhecemos \sigma).
  • Perguntas:
    (a) Obter um intervalo de confiança para a média populacional com nível de confiança de 91\% e determinar a margem de erro desse intervalo.
    (b) Determinar qual nível de confiança seria necessário para que a nova margem de erro fosse igual à metade da margem de erro obtida no item (a), mantendo n e \sigma fixos.
    (c) Agora suponha que a média populacional seja \mu=12 minutos e que consideremos uma amostra de n=5. Qual a probabilidade da média amostral ser superior a 16 minutos?
A resolução começa agora nos passos seguintes.

Passo 2

Conceito e fórmula para intervalo de confiança quando \sigma é conhecida (aula rápida e prática).
  • Quando conhecemos o desvio padrão populacional \sigma, para construir um intervalo de confiança para a média usamos a distribuição normal padrão (z). A fórmula do intervalo de confiança de nível 100(1-\alpha)\% é: \bar{x}\pm z_{1-\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
  • O que cada símbolo significa:
    \bar{x} = média amostral; \sigma = desvio padrão populacional; n = tamanho da amostra; z_{1-\alpha/2} = quantil da normal padrão tal que a área à esquerda é 1-\alpha/2. A quantidade E = z_{1-\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}é chamada margem de erro do intervalo.
Exemplo rápido: se z_{1-\alpha/2}=1{,}96, \sigma=4, n=100, então E=1{,}96\cdot\frac{4}{10}=0{,}784 e o intervalo seria \bar{x}\pm0{,}784.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao item (a): nível de confiança 91\%.
  • Para nível de confiança 91\% temos \alpha=0{,}09 e 1-\alpha/2=1-0{,}09/2=0{,}955. Precisamos do quantil z_{0{,}955}, isto é o valor de z tal que \Phi(z)=0{,}955, onde \Phi é a CDF da normal padrão.
  • Consultando tabela ou calculadora da normal padrão, obtemos z_{0{,}955}\approx 1{,}695397.(Arredondamos para usar em contas: z_{0{,}955}\approx1{,}695.)

Passo 4

Cálculo da margem de erro E do item (a) passo a passo (não pule contas).
  • Primeiro calcule \frac{\sigma}{\sqrt{n}}: \sqrt{n}=\sqrt{60}\approx 7{,}745966692,
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{3{,}5}{\sqrt{60}}\approx\frac{3{,}5}{7{,}745966692}\approx 0{,}451753951.
  • Agora calcule E: E=z_{0{,}955}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\approx 1{,}695397\cdot 0{,}451753951\approx 0{,}7659.Arredondando razoavelmente, usamos E\approx0{,}766 minutos.

Passo 5

Construção do intervalo de confiança do item (a) (passo a passo).
  • O intervalo é \bar{x}\pm E, logo \text{IC}_{91\%}=\bigl(\bar{x}-E,\\ \bar{x}+E\bigr)=\bigl(11-0{,}766,\\\ 11+0{,}766\bigr).
  • Fazendo as subtrações e somas: 11-0{,}766=10{,}234,\qquad 11+0{,}766=11{,}766.
  • Portanto, o intervalo de confiança de 91\% é aproximadamente (10{,}234,\;11{,}766),com margem de erro E\approx0{,}766 minutos.

Passo 6

Entendendo o que se pede no item (b) e a estratégia para resolver.
  • Queremos uma nova margem de erro E_{\text{novo}}=\tfrac{1}{2}E, mantendo \sigma e n fixos. A fórmula da margem de erro é E=z_{1-\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
  • Como \frac{\sigma}{\sqrt{n}} é fixo, para reduzir E para metade precisamos reduzir z_{1-\alpha/2} para metade: z_{\text{novo}}=\frac{1}{2}z_{\text{antigo}}.
  • Assim calculamos z_{\text{novo}} e, em seguida, obtemos o nível de confiança correspondente através de \text{nível de confiança} = 2\Phi(z_{\text{novo}})-1.íçVou executar isso passo a passo.

Passo 7

Cálculo numérico para o item (b).
  • Usamos z_{\text{antigo}}=z_{0{,}955}\approx1{,}695397. Então
    z_{\text{novo}}=\frac{1{,}695397}{2}\approx0{,}8476985.
  • Agora encontramos \Phi(z_{\text{novo}})=\Phi(0{,}8476985). Consultando tabela ou calculadora:
    \Phi(0{,}8476985)\approx 0{,}8018\quad(\text{aprox.}).
  • Assim o nível de confiança requerido é
    2\Phi(z_{\text{novo}})-1\approx 2\cdot0{,}8018-1=0{,}6036.
    Em porcentagem, isso equivale a aproximadamente 60{,}36\%.
  • Interpretação rápida (importante para prova): reduzir a margem de erro pela metade mantendo n e \sigma faz o intervalo ficar muito menos confiável — aqui o nível de confiança caiu de 91\% para cerca de 60{,}36\%.

Passo 8

Preparando para o item (c): distribuição da média amostral e fórmula para probabilidade.
  • Quando a média populacional \mu e o desvio padrão populacional \sigma são conhecidos, a média amostral \bar{X} (para amostra aleatória de tamanho n) tem média \mu e desvio padrão \sigma_{\bar{X}}=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}.
  • Se a população é normal, então \bar{X} é exatamente normal: \bar{X}\sim N\!\left(\mu,\\ \dfrac{\sigma^{2}}{n}\right). Se a população não for normal, para n grande vale o TCL; aqui como n=5 pequeno, devemos assumir que a distribuição da população é aproximadamente normal (o enunciado não diz contrário), então usamos normal exata.
  • Queremos P(\bar{X}>16). Fazemos padronização: Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\quad\Rightarrow\quad P(\bar{X}>16)=P\!\left(Z>\frac{16-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\right).

Passo 9

Cálculo numérico do item (c) com os dados fornecidos.
  • Dados: \mu=12, \sigma=3{,}5, n=5. Primeiro calcule \sigma/\sqrt{n}: \sqrt{5}\approx 2{,}236067978,\qquad \frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{3{,}5}{\sqrt{5}}\approx\frac{3{,}5}{2{,}236067978}\approx1{,}565247.
  • Padronizando para 16: z=\frac{16-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}=\frac{16-12}{1{,}565247}\approx\frac{4}{1{,}565247}\approx 2{,}556.
  • Agora a probabilidade pedida é P(\bar{X}>16)=P(Z>2{,}556)=1-\Phi(2{,}556).Consultando tabela/calculadora: \Phi(2{,}556)\approx 0{,}9947. Portanto P(\bar{X}>16)\approx 1-0{,}9947=0{,}0053.
  • Em porcentagem, isso é aproximadamente 0{,}53\%. Interpretando: é muito improvável, quase nulo, que a média de 5 estudantes seja maior que 16 quando a média populacional é 12 e \sigma=3{,}5.

Resposta

(a) Intervalo de confiança de 91\%: (10{,}234,\\\ 11{,}766). Margem de erro E\approx0{,}766 minutos.
(b) Nível de confiança necessário para ter margem de erro igual à metade: aproximadamente 60{,}36\%.
(c) P(\bar{X}>16)\approx 0{,}0053 (aprox. 0{,}53\%).

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