Deseja-se analisar o tempo médio gasto por estudantes na fila do restaurante universitário. Para tanto, após um conjunto de medidas, observou-se que o tempo médio gasto por 60 estudantes foi de 11 minutos. É sabido que o desvio padrão do tempo gasto por todos os estudantes da universidade, que corresponde à população nesse caso, é de 3,5 minutos. Diante disso:
(a) Obtenha um intervalo de confiança, de nível de confiança de
, para a estimação do tempo médio gasto na fila do restaurante. Determine a respectiva margem de erro.
(b) Determine o nível de confiança necessário para se obter um novo intervalo de confiança com margem de erro igual à metade da margem de erro obtida no item (a).
(c) Assuma agora que o tempo médio populacional é conhecido e vale 12 minutos. Considere o tempo médio amostral calculado levando em conta 5 estudantes. Qual a probabilidade desse tempo médio amostral ser superior a 16 minutos?
(a) Obtenha um intervalo de confiança, de nível de confiança de
(b) Determine o nível de confiança necessário para se obter um novo intervalo de confiança com margem de erro igual à metade da margem de erro obtida no item (a).
(c) Assuma agora que o tempo médio populacional é conhecido e vale 12 minutos. Considere o tempo médio amostral calculado levando em conta 5 estudantes. Qual a probabilidade desse tempo médio amostral ser superior a 16 minutos?
Passo 1
O enunciado pede três coisas distintas; vamos listar tudo certinho para não nos perder:
-
Dados fornecidos:Aqui
é o tamanho da amostra, é a média amostral observada e é o desvio padrão da população (é informado que conhecemos ). -
Perguntas:
(a) Obter um intervalo de confiança para a média populacional com nível de confiança dee determinar a margem de erro desse intervalo.
(b) Determinar qual nível de confiança seria necessário para que a nova margem de erro fosse igual à metade da margem de erro obtida no item (a), mantendoe fixos.
(c) Agora suponha que a média populacional sejaminutos e que consideremos uma amostra de . Qual a probabilidade da média amostral ser superior a minutos?
A resolução começa agora nos passos seguintes.
Passo 2
Conceito e fórmula para intervalo de confiança quando
é conhecida (aula rápida e prática).
- Quando conhecemos o desvio padrão populacional
, para construir um intervalo de confiança para a média usamos a distribuição normal padrão (z). A fórmula do intervalo de confiança de nível é: - O que cada símbolo significa:
= média amostral; = desvio padrão populacional; = tamanho da amostra; = quantil da normal padrão tal que a área à esquerda é . A quantidade é chamada margem de erro do intervalo.
Exemplo rápido: se
,
,
, então
e o intervalo seria
.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao item (a): nível de confiança
.
- Para nível de confiança
temos e . Precisamos do quantil , isto é o valor de tal que , onde é a CDF da normal padrão. - Consultando tabela ou calculadora da normal padrão, obtemos
(Arredondamos para usar em contas: .)
Passo 4
Cálculo da margem de erro
do item (a) passo a passo (não pule contas).
- Primeiro calcule
:
- Agora calcule
: Arredondando razoavelmente, usamos minutos.
Passo 5
Construção do intervalo de confiança do item (a) (passo a passo).
- O intervalo é
, logo - Fazendo as subtrações e somas:
- Portanto, o intervalo de confiança de
é aproximadamente com margem de erro minutos.
Passo 6
Entendendo o que se pede no item (b) e a estratégia para resolver.
- Queremos uma nova margem de erro
, mantendo e fixos. A fórmula da margem de erro é - Como
é fixo, para reduzir para metade precisamos reduzir para metade: - Assim calculamos
e, em seguida, obtemos o nível de confiança correspondente através de Vou executar isso passo a passo.
Passo 7
Cálculo numérico para o item (b).
-
Usamos
. Então -
Agora encontramos
. Consultando tabela ou calculadora: -
Assim o nível de confiança requerido éEm porcentagem, isso equivale a aproximadamente
. -
Interpretação rápida (importante para prova): reduzir a margem de erro pela metade mantendo
e faz o intervalo ficar muito menos confiável — aqui o nível de confiança caiu de para cerca de .
Passo 8
Preparando para o item (c): distribuição da média amostral e fórmula para probabilidade.
- Quando a média populacional
e o desvio padrão populacional são conhecidos, a média amostral (para amostra aleatória de tamanho ) tem média e desvio padrão . - Se a população é normal, então
é exatamente normal: . Se a população não for normal, para grande vale o TCL; aqui como pequeno, devemos assumir que a distribuição da população é aproximadamente normal (o enunciado não diz contrário), então usamos normal exata. - Queremos
. Fazemos padronização:
Passo 9
Cálculo numérico do item (c) com os dados fornecidos.
- Dados:
, , . Primeiro calcule : - Padronizando para
: - Agora a probabilidade pedida é
Consultando tabela/calculadora: . Portanto - Em porcentagem, isso é aproximadamente
. Interpretando: é muito improvável, quase nulo, que a média de 5 estudantes seja maior que 16 quando a média populacional é 12 e .
Resposta
(a) Intervalo de confiança de
:
. Margem de erro
minutos.
(b) Nível de confiança necessário para ter margem de erro igual à metade: aproximadamente .
(c) (aprox.
).
(b) Nível de confiança necessário para ter margem de erro igual à metade: aproximadamente
(c)