Tente aplicar o método de Newton-Raphson para encontrar a solução de x^{2}-4 x+ 4.1=0. Por que o método não funciona?

Passo 1

O enunciado pede para usar o método de Newton–Raphson na equação
x^{2} - 4x + 4{,}1 = 0
Este método consiste em escolher um valor inicial x_{0}, calcular f(x) e f'(x), e iterar
x_{n+1} \;=\; x_{n} \;-\;\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}
até convergir a uma raiz de f(x)=0. Aqui f(x)=x^{2}-4x+4{,}1 e f'(x)=2x-4.

Passo 2

Antes de iterar, vamos ver se existem raízes reais. O discriminante é
\Delta = b^{2} - 4ac = (-4)^{2} - 4\cdot 1\cdot 4{,}1 = 16 - 16{,}4 = -0{,}4 < 0.
Como \Delta<0, a equação não tem solução real: f(x)>0 para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 3

Apesar disso, podemos tentar a iteração de Newton. A fórmula fica
x_{n+1} = x_{n} - \frac{x_{n}^{2}-4x_{n}+4{,}1}{2x_{n}-4}.
Note que em x=2 temos f'(2)=0, o que tornaria a iteração impossível se x_{n} se aproximar de 2.

Passo 4

Por exemplo, escolhendo x_{0}=0:
x_{1}=0 - \frac{0-0+4{,}1}{-4}=1{,}025,\quad x_{2}=1{,}025 - \frac{1{,}025^{2}-4\cdot1{,}025+4{,}1}{2\cdot1{,}025-4}\approx1{,}564,
x_{3}\approx1{,}896,\quad x_{4}\approx2{,}431,\quad x_{5}\approx2{,}098,\quad x_{6}\approx1{,}542,\;\dots
esses valores começam a oscilar e não se aproximam de nenhuma raiz real.

Passo 5

O método não converge porque não existe raiz real de f(x). Além disso, o ponto x=2 anula f'(x) e gera saltos grandes na iteração.

Resposta

O método de Newton–Raphson não funciona aqui porque a equação não tem solução real \Delta<0, logo não há raiz real para a iteração convergir.

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