Seja
uma função de base radial, isto é
para alguma função
.
Mostre que, se
é diferenciável na origem, então
é diferenciável no ponto
e vale que
.
Mostre que, se
Passo 1
Temos uma função radial f(x,y)=g® com r=√(x²+y²) que é diferenciável em (0,0). Vamos usar a definição de diferenciabilidade em R² e mostrar que isso implica que g é diferenciável em u=0 e g′(0)=0.
Passo 2
Como f é diferenciável em (0,0), existe um mapa linear L(x,y)=a x+b y (com a=∂f/∂x(0,0) e b=∂f/∂y(0,0)) tal que
Isto significa que
Passo 3
Restrigimos a linha (u,0) com u→0⁺. Aí f(u,0)=g(|u|)=g(u), e a expressão acima vira
Isso mostra que o quociente de diferença de g tende a a, logo g é diferenciável em 0 com derivada à direita g′(0⁺)=a. Analogamente na direção (0,u) obtemos g′(0⁺)=b, de onde b=a.
Passo 4
Para u<0 usamos o fato de f(u,0)=g(|u|)=g(-u). Então
O quociente (g(u)-g(0))/u para u→0⁻ é −a+o(1). Se g é diferenciável em 0, derivadas laterais coincidem: a=−a, daí a=0. Logo g′(0)=0.
Resposta
g é diferenciável em u=0 e g′(0)=0.