A hidrólise em fase líquida do anidrido acético para formar ácido acético é mostrada a seguir:
\left(\mathrm{CH}_{3} \mathrm{CO}\right)_{2} \mathrm{O}+\mathrm{H}_{2} \mathrm{O} \rightarrow 2 \mathrm{CH}_{3} \mathrm{COOH}
A hidrólise deve ser conduzida em um CSTR de 1 litro e um PFR de 0,311 litro. A vazão volumétrica para cada caso é 3,3 \times 10^{-3} \mathrm{dm}^{3} / \mathrm{s}. A reação segue uma lei de velocidade elementar com uma velocidade específica de reação de 1,95 \times 104 \mathrm{dm}^{3} / \mathrm{mol} \cdot \mathrm{s}. As concentrações de anidrido acético e de água na alimentação dos reatores são de 1 M e 51,2 \mathrm{M}, respectivamente. Encontre a conversão
no PFR

Passo 1

O enunciado pede a conversão no PFR. Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • Reação: \left(\mathrm{CH}_{3}\mathrm{CO}\right)_2\mathrm{O} + \mathrm{H}_2\mathrm{O} \rightarrow 2\,\mathrm{CH}_3\mathrm{COOH}.
  • Velocidade elementar: r = k\,C_A\,C_W com k = 1{,}95\times10^{4}\\ \mathrm{dm}^3\mathrm{/mol\cdot s}.
  • Concentrações na alimentação: C_{A0} = 1{,}0\\ \mathrm{mol/dm}^3, C_{W0} = 51{,}2\\ \mathrm{mol/dm}^3.
  • Vazão volumétrica (mesma para PFR e CSTR): q = 3{,}3\times10^{-3}\\ \mathrm{dm}^3/\mathrm{s}.
  • Volume do PFR: V = 0{,}311\\ \mathrm{dm}^3.
  • Pedido: encontrar a conversão X (fração molar de A reagida) no PFR.

Passo 2

Definições e equações de base (explicando o que cada símbolo significa):
  • Conversão: \displaystyle X=\frac{C_{A0}-C_A}{C_{A0}}, então C_A = C_{A0}(1-X).
  • Estequiometria: 1 mol de A consome 1 mol de água, logo C_W = C_{W0}-C_{A0}X.
  • Vazão molar de A na alimentação: F_{A0}=C_{A0}\,q (mol/s), porque concentração vezes vazão volumétrica dá fluxo molar.
  • No PFR ideal a equação de projeto é
V = \int_{0}^{X} \frac{F_{A0}\,dX}{-r_A},
onde r_A é a velocidade de consumo de A (positivo em magnitude, então uso -r_A = taxa de reação no denominador).

Passo 3

Substituição da lei de velocidade e das concentrações em função de X:
  • A lei dada é de segunda ordem: \displaystyle r_A = -k\,C_A\,C_W = -k\,C_{A0}(1-X)\,\big(C_{W0}-C_{A0}X\big).
  • Inserindo isso em V = \int_0^X \dfrac{F_{A0}\,dX}{-r_A} e usando F_{A0}=C_{A0}q:
V = C_{A0}q \int_{0}^{X} \frac{dX}{k\,C_{A0}(1-X)\big(C_{W0}-C_{A0}X\big)}.
  • Cancelando C_{A0}:
V = \frac{q}{k}\int_{0}^{X}\frac{dX}{(1-X)\big(C_{W0}-C_{A0}X\big)}.

Passo 4

Resolver a integral por frações parciais (faça isto passo a passo porque é o que você fará na prova):
  • Denomino a = C_{W0} e b = C_{A0} para clareza, então integral é \displaystyle \int_0^X \frac{dX}{(1-X)(a - bX)}.
  • Procuro constantes A,B tais que
\frac{1}{(1-X)(a-bX)}=\frac{A}{1-X}+\frac{B}{a-bX}.
Multiplicando ambos os lados por (1-X)(a-bX) obtemos
1 = A(a-bX) + B(1-X).
Igualando coeficientes em X e constantes:
  • Coeficiente de X: 0 = -A b - B \Rightarrow B = -A b.
  • Constante: 1 = A a + B \Rightarrow 1 = A a - A b = A(a-b).
    Logo
A = \frac{1}{a-b},\qquad B = -\frac{b}{a-b}.
  • Integrando cada termo:
\int \frac{dX}{1-X} = -\ln(1-X),\qquad \int \frac{dX}{a-bX} = -\frac{1}{b}\ln(a-bX).
  • Portanto, a integral entre 0 e X vale
\int_{0}^{X}\frac{dX}{(1-X)(a-bX)} = -\frac{1}{a-b}\ln(1-X) - \left(-\frac{b}{a-b}\cdot\frac{1}{b}\right)\ln\!\left(\frac{a-bX}{a}\right).
  • Simplificando (observe que -\frac{b}{a-b}\cdot\frac{1}{b} = -\frac{1}{a-b}):
\int_{0}^{X}\frac{dX}{(1-X)(a-bX)} = \frac{1}{a-b}\left[ \ln\!\left(\frac{a-bX}{a}\right) - \ln(1-X)\right].

Passo 5

Voltar à equação de projeto e isolar X:
  • Substituindo a integral em V = \dfrac{q}{k}\times(\text{integral}):
V = \frac{q}{k}\cdot\frac{1}{a-b}\left[ \ln\!\left(\frac{a-bX}{a}\right) - \ln(1-X)\right].
  • Agrupando o log:
V = \frac{q}{k(a-b)}\ln\!\left(\frac{a-bX}{a(1-X)}\right).
  • Exponenciando:
\exp\!\left(\frac{k(a-b)V}{q}\right)=\frac{a-bX}{a(1-X)}.
  • Denotando E=\exp\!\left(\dfrac{k(a-b)V}{q}\right), resolvemos para X:
a-bX = aE(1-X)\quad\Rightarrow\quad X=\frac{a(1-E)}{b-aE}.
Uma forma alternativa equivalente (mais conveniente para ver o limite E\to\infty) é
X=\frac{a(E-1)}{aE-b}.

Passo 6

Substituir os valores numéricos e analisar:
  • Valores: a=C_{W0}=51{,}2, b=C_{A0}=1{,}0, k=1{,}95\times10^{4}, V=0{,}311, q=3{,}3\times10^{-3}. Todos em unidades compatíveis (dm^3, mol, s).
  • Calcular o expoente:
\frac{k(a-b)V}{q} = \frac{1{,}95\times10^{4}\times(51{,}2-1{,}0)\times0{,}311}{3{,}3\times10^{-3}}.
  • Primeiro a-b=50{,}2. Então k(a-b)V \approx 1{,}95\times10^{4}\times50{,}2\times0{,}311 \approx 3{,}044\times10^{5}.
  • Dividindo por q=3{,}3\times10^{-3}
\frac{k(a-b)V}{q}\approx 9{,}225\times10^{7}.
  • Assim E=\exp(9{,}225\times10^{7}), um número absolutamente colossal (praticamente infinito em qualquer calculadora).
  • Como E é enormemente grande, use a forma assintótica obtida antes: para E\gg1
1-X \approx \frac{a-b}{aE},
portanto 1-X é virtualmente zero (ordens de grandeza como \exp(-9{,}2\times10^{7}) — impossível de representar numericamente, mas efetivamente nulo).
  • Conclusão: X é indistinguível de 1 (conversão completa) para todos os propósitos práticos. Mesmo com muitos casas decimais, X será 0{,}999\ldots com um número astronomicamente grande de 9’s.

Passo 7

Interpretação física e dica de prova:
  • O produto adimensional k\,C_{W0}\,\tau (onde \tau=V/q é o tempo de residência) controla a conversão quando W está em excesso. Aqui \tau=\dfrac{0{,}311}{3{,}3\times10^{-3}}\approx94{,}24\\ \mathrm{s} e kC_{W0}\approx1{,}95\times10^{4}\times51{,}2\approx9{,}98\times10^{5}\\ \mathrm{s}^{-1}. O produto é \sim9{,}4\times10^{7}\gg1, garantindo conversão praticamente completa.
  • Em prova, basta mostrar a expressão analítica e avaliar o expoente; quando esse expoente é muito grande positivo, conclui-se X\approx1. Não precisa tentar calcular exponenciais absurdas.

Resposta

X \approx 1{,}00 (conversão essencialmente 100\%).

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