Use a Regra de L’Hôpital para calcular os limites abaixo, descrevendo as indeterminações envolvidas.:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos (\operatorname{sen}(x))}{\operatorname{sen}(x)}. Dica: Use a regra da cadeia.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to0}\frac{1-\cos(\operatorname{sen} x)}{\operatorname{sen} x}
usando a Regra de L’Hôpital. O conteúdo envolve indeterminações do tipo \tfrac{0}{0} e aplicação da regra da cadeia ao derivar funções compostas.

Passo 2

Verificamos a forma de indeterminação ao substituir x=0:
\operatorname{sen} x\to0 faz com que o denominador vá a 0, e
\cos(\operatorname{sen} x)\to\cos(0)=1 faz o numerador 1-\cos(\operatorname{sen} x)\to0.
Logo, temos uma indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}, portanto podemos aplicar L’Hôpital.

Passo 3

Aplicando L’Hôpital, derivamos numerador e denominador em relação a x.
Derivada do numerador 1-\cos(\operatorname{sen} x): pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\bigl(1-\cos(\operatorname{sen} x)\bigr) =\sin(\operatorname{sen} x)\,\frac{d}{dx}(\operatorname{sen} x) =\sin(\operatorname{sen} x)\cos x.
Derivada do denominador \operatorname{sen} x é \cos x.
O limite passa a ser
\lim_{x\to0}\frac{\sin(\operatorname{sen} x)\cos x}{\cos x} =\lim_{x\to0}\sin(\operatorname{sen} x).

Passo 4

Agora basta avaliar
\sin(\operatorname{sen} x) em x=0:
\operatorname{sen} 0=0, então \sin(\operatorname{sen} 0)=\sin(0)=0.

Resposta

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