Deseja-se construir uma caixa, sem tampa, com a forma de paralelepípedo retângulo e com 32 \mathrm{~m}^{3} de volume. Determine as dimensões da caixa que minimiza o custo do material.
Passo 1
O enunciado pede uma caixa aberta (sem tampa) em forma de paralelepípedo retângulo de volume 32\\ \mathrm{m}^3, cuja quantidade de material (área) seja mínima. O conteúdo é otimização sujeita a restrição de volume, e vamos usar cálculo de várias variáveis (ou método de substituição) para encontrar as dimensões que minimizam a área.
Passo 2
Definimos variáveis: comprimento x, largura y e altura z, todas positivas. A restrição de volume é
xyz = 32.
Passo 3
A área da superfície (sem tampa) é a soma da base e das quatro faces laterais:
S = \underbrace{xy}_{\text{base}} + \underbrace{2\,xz + 2\,yz}_{\text{laterais}}.
Passo 4
Usamos a restrição para eliminar z. Como z = \frac{32}{xy}, temos