Deseja-se construir uma caixa, sem tampa, com a forma de paralelepípedo retângulo e com 32 \mathrm{~m}^{3} de volume. Determine as dimensões da caixa que minimiza o custo do material.

Passo 1

O enunciado pede uma caixa aberta (sem tampa) em forma de paralelepípedo retângulo de volume 32\\ \mathrm{m}^3, cuja quantidade de material (área) seja mínima. O conteúdo é otimização sujeita a restrição de volume, e vamos usar cálculo de várias variáveis (ou método de substituição) para encontrar as dimensões que minimizam a área.

Passo 2

Definimos variáveis: comprimento x, largura y e altura z, todas positivas. A restrição de volume é
xyz = 32.

Passo 3

A área da superfície (sem tampa) é a soma da base e das quatro faces laterais:
S = \underbrace{xy}_{\text{base}} + \underbrace{2\,xz + 2\,yz}_{\text{laterais}}.

Passo 4

Usamos a restrição para eliminar z. Como z = \frac{32}{xy}, temos
S(x,y) = xy + 2x\!\Bigl(\frac{32}{xy}\Bigr) + 2y\!\Bigl(\frac{32}{xy}\Bigr) = xy + \frac{64}{y} + \frac{64}{x}.

Passo 5

Para encontrar o mínimo, calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
\frac{\partial S}{\partial x} = y - \frac{64}{x^2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{64}{x^2},
\frac{\partial S}{\partial y} = x - \frac{64}{y^2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{64}{y^2}.

Passo 6

Do sistema acima, observa-se simetria entre x e y, então faz sentido testar x=y. Substituindo em y = 64/x^2
x = \frac{64}{x^2} \quad\Longrightarrow\quad x^3 = 64 \quad\Longrightarrow\quad x = 4.
Logo y = 4.

Passo 7

Encontramos z pela restrição de volume:
z = \frac{32}{xy} = \frac{32}{4\cdot 4} = 2.

Passo 8

Para verificar que é mínimo, note que S\to\infty quando x ou y tendem a 0 ou \infty, e o ponto crítico é único, logo corresponde a um mínimo global.

Resposta

As dimensões que minimizam o custo são
\boxed{x = 4\\ \mathrm{m},\quad y = 4\\ \mathrm{m},\quad z = 2\\ \mathrm{m}.}

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