Determine os pontos de máximo local, mínimo local e de sela da função
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos de máximo local, mínimo local e de sela da função
O conteúdo aqui é cálculo de extremos em funções de duas variáveis. Vamos precisar:
- Calcular as derivadas parciais e igualá-las a zero para achar os pontos críticos.
- Montar a matriz Hessiana e usar seu determinante e o sinal de
para classificar cada ponto crítico.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais:
Igualando a zero, obtemos o sistema
Da primeira equação vem
. Substituindo na segunda:
logo
ou
, isto é,
.
Para cada caso:
Para cada caso:
- Se
, então . - Se
, então . - Se
, então .
Portanto os pontos críticos são
Passo 3
A matriz Hessiana de
é
Para classificar um ponto crítico
, calculamos
- Em
:
Como
, é ponto de sela.
2. Em :
2. Em
Aqui
e
, logo extremo local mínimo.
3. Em :
3. Em
é idêntica à anterior, então
e
, outro mínimo local.
Passo 4
Concluímos que:
-
é ponto de sela. -
e são mínimos locais. - Não há pontos de máximo local, pois não surge nenhum ponto com
e .
Resposta
Pontos de mínimo local:
e
.
Ponto de sela: .
Não há ponto de máximo local.
Ponto de sela:
Não há ponto de máximo local.