Determine os pontos de máximo local, mínimo local e de sela da função f(x, y)=x^{4}+4 x y+y^{4}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos de máximo local, mínimo local e de sela da função
f(x,y)=x^{4}+4xy+y^{4}.
O conteúdo aqui é cálculo de extremos em funções de duas variáveis. Vamos precisar:
  1. Calcular as derivadas parciais e igualá-las a zero para achar os pontos críticos.
  2. Montar a matriz Hessiana e usar seu determinante e o sinal de f_{xx} para classificar cada ponto crítico.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
f_{x} = \frac{\partial f}{\partial x} = 4x^{3} + 4y,\quad f_{y} = \frac{\partial f}{\partial y} = 4y^{3} + 4x.
Igualando a zero, obtemos o sistema
\begin{cases} 4x^{3} + 4y = 0,\\\\ 4y^{3} + 4x = 0. \end{cases} \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} x^{3} + y = 0,\\\ y^{3} + x = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem y = -x^{3}. Substituindo na segunda:
(-x^{3})^{3} + x = -x^{9} + x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x\,(1 - x^{8}) = 0
logo x=0 ou x^{8}=1, isto é, x=\pm1.
Para cada caso:
  • Se x=0, então y=0.
  • Se x=1, então y = -1.
  • Se x=-1, então y = -(-1)^{3} = 1.
    Portanto os pontos críticos são
(0,0),\quad(1,-1),\quad(-1,1).

Passo 3

A matriz Hessiana de f é
H(x,y) = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy}\\\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12x^{2} & 4\\\\ 4 & 12y^{2} \end{pmatrix}.
Para classificar um ponto crítico (x_{0},y_{0}), calculamos
D = \det H(x_{0},y_{0}) \quad\text{e observamos o sinal de}\quad f_{xx}(x_{0},y_{0}).
  1. Em (0,0):
H(0,0)=\begin{pmatrix}0&4\\\ 4&0\end{pmatrix}, \quad D = 0\cdot 0 - 4\cdot4 = -16 < 0.
Como D<0, é ponto de sela.
2. Em (1,-1):
H(1,-1)=\begin{pmatrix}12&4\\\ 4&12\end{pmatrix}, \quad D = 12\cdot12 - 4\cdot4 = 144 -16 =128 >0, \quad f_{xx}(1,-1)=12>0.
Aqui D>0 e f_{xx}>0, logo extremo local mínimo.
3. Em (-1,1):
H(-1,1)=\begin{pmatrix}12&4\\\ 4&12\end{pmatrix}
é idêntica à anterior, então D=128>0 e f_{xx}=12>0, outro mínimo local.

Passo 4

Concluímos que:
  • (0,0) é ponto de sela.
  • (1,-1) e (-1,1) são mínimos locais.
  • Não há pontos de máximo local, pois não surge nenhum ponto com D>0 e f_{xx}<0.

Resposta

Pontos de mínimo local: (1,-1) e (-1,1).
Ponto de sela: (0,0).
Não há ponto de máximo local.

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