A temperatura
em uma bola de metal é inversamente proporcional à distância do centro da bola, que tomamos como a origem. Isto é
A temperatura no ponto
é de
. Em que direção
varia mais rapidamente em
? Qual a taxa máxima de variação neste ponto?
Passo 1
O enunciado diz que a temperatura
numa bola de metal satisfaz
e que em
vale
. O conteúdo envolve derivadas parciais e gradiente para achar a direção de variação máxima e sua taxa.
Passo 2
Para achar a constante
, usamos
Logo
.
Passo 3
Calculamos o gradiente de
Usando a regra da cadeia,
Portanto
Passo 4
Em
temos
e
, então
A direção de variação máxima é a do vetor gradiente, isto é, o vetor unitário
A taxa máxima de variação é o módulo do gradiente:
Resposta
A direção de variação máxima em
é
, e a taxa máxima de variação é
(graus por unidade de comprimento).