A temperatura T em uma bola de metal é inversamente proporcional à distância do centro da bola, que tomamos como a origem. Isto é
T(x, y, z)=\frac{k}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}
A temperatura no ponto (1,0,0) é de 120^{\circ}. Em que direção T varia mais rapidamente em (1,0,0) ? Qual a taxa máxima de variação neste ponto?

Passo 1

O enunciado diz que a temperatura T numa bola de metal satisfaz
T(x,y,z)=\frac{k}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}
e que em (1,0,0) vale 120^\circ. O conteúdo envolve derivadas parciais e gradiente para achar a direção de variação máxima e sua taxa.

Passo 2

Para achar a constante k, usamos
T(1,0,0)=\frac{k}{\sqrt{1^2+0^2+0^2}}=k=120.
Logo \,k=120.

Passo 3

Calculamos o gradiente de
T(x,y,z)=k\,(x^2+y^2+z^2)^{-\tfrac12}.
Usando a regra da cadeia,
\frac{\partial T}{\partial x} =-\frac{k\,x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}, \quad \frac{\partial T}{\partial y} =-\frac{k\,y}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}, \quad \frac{\partial T}{\partial z} =-\frac{k\,z}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}.
Portanto
\nabla T(x,y,z) =-\frac{k}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} \,(x,y,z).

Passo 4

Em (1,0,0) temos x^2+y^2+z^2=1 e k=120, então
\nabla T(1,0,0) =-\frac{120}{1^{3/2}}(1,0,0) =(-120,0,0).
A direção de variação máxima é a do vetor gradiente, isto é, o vetor unitário
\mathbf{u} =\frac{\nabla T(1,0,0)}{\|\nabla T(1,0,0)\|} =\frac{(-120,0,0)}{120} =(-1,0,0).
A taxa máxima de variação é o módulo do gradiente:
\bigl\|\nabla T(1,0,0)\bigr\| =120.

Resposta

A direção de variação máxima em (1,0,0) é \,(-1,0,0), e a taxa máxima de variação é 120 (graus por unidade de comprimento).

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