Suponha que f(x, y, z)=y(raizx^2+y^2+z^2), onde g é uma função de uma variável tal que g(2)=-5. Calcule integral duplas f(x, y, z) d S, onde S e a esfera x^2+y^2+z^2=4.

Passo 1

O enunciado pede a integral de superfície de uma função escalar sobre a esfera de raio 2, ou seja, calcular ∬ₛ f(x,y,z) dS onde S é dado por x²+y²+z²=4. Vamos precisar usar o valor de g em 2 e a propriedade de simetria da superfície.

Passo 2

Em qualquer ponto de S temos √(x²+y²+z²)=2, portanto g(√(x²+y²+z²))=g(2)=-5.
Substituindo esse valor em f, obtemos f(x,y,z)=y·g(2)= -5y. Logo a integral fica
-5integral duplaSy,dS

Passo 3

A esfera é simétrica em relação ao plano y=0 e y é função ímpar, então ∬ₛ y dS=0. Portanto a integral se reduz a -5×0.

Resposta

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