A região limitada pelo eixo y e pelos gráficos de y=x^2, para x >= 0 e y=4 gira em torno do eixo y. Faça um esboço da região e do sólido obtido na rotação e determine seu volume. [Resposta: V=8 pi ].

Passo 1

A região limitada no primeiro quadrante pela curva y=x^2 (para x>=0), pela reta y=4 e pelo eixo y, ao ser girada em torno do eixo y, gera um sólido cujo volume precisamos calcular. O conteúdo envolve cálculo de volume por integração (método de cascas cilíndricas ou discos).

Passo 2

Fazendo um esboço, notamos que a parábola cruza y=4 em x=2. Assim, a região vai de x=0 até x=2 e verticalmente de y=x^2 até y=4. Ao rotacionar em torno do eixo y, obtemos um sólido com seções circulares variando ao longo de y.

Passo 3

Optamos pelo método das cascas cilíndricas: consideramos uma fatia vertical em x com espessura dx. Cada casca tem raio x e altura 4 - x^2. Logo, o volume de cada casca é dado por
dV = 2pi cdot x cdot (4 - x^2) , dx

Passo 4

Integramos de x=0 a x=2:
V = integral0^2 2pi x (4 - x^2) , dx
Desenvolvendo, temos:
V = 2pi integral0^2 (4x - x^3) , dx = 2pi l[2x^2 - tfracx^44r]0^2 = 8pi

Resposta

8pi

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