Deseja-se destilar em batelada 50 kgmoles de uma mistura
molar em etanol e
molar em água. O sistema tem um refervedor, dois estágios de equilíbrio e um condensador total. O refluxo retorna à coluna como líquido saturado e deve-se usar
. A coluna deve operar para que a concentração final no refervedor seja de
molar em etanol. Determine a composição média do destilado, a carga final do refervedor e a quantidade de destilado coletada. A pressão de operação é de 1 atm .
Passo 1
O enunciado pede três coisas e fornece estes dados:
- Quer-se destilar em batelada
kmoles de mistura, com composição inicial molar em etanol e molar em água. Vou chamar: - O sistema tem um refervedor (reboiler), dois estágios de equilíbrio e um condensador total. O refluxo retorna como líquido saturado e a razão refluxo/distilado é
- A coluna deve operar até que a concentração final no refervedor (liquido de fundo) seja
- Pressão de operação
.
As perguntas explícitas:
- Determinar a composição média do destilado (fração molar média de etanol no destilado coletado).
- Determinar a carga final do refervedor (quantidade em kmol que sobra no refervedor ao final).
- Determinar a quantidade de destilado coletada (em kmol).
Observação importante: o enunciado não fornece dados de equilíbrio líquido–vapor (curva
vs
ou constantes de Antoine/coeficientes de atividade, nem uma volatilidade relativa constante). Esses dados são necessários para relacionar, em cada instante, a composição do refervedor (fundo) com a composição do destilado instantâneo — e portanto para calcular exatamente a trajetória de separação e integrar a equação de Rayleigh. Sem a relação de equilíbrio não existe uma única solução numérica correta. Portanto eu explicarei o método correto passo a passo e, para dar um número final ilustrativo, mostrarei um cálculo exemplo assumindo uma volatilidade relativa constante (uma hipótese comum em exercícios didáticos). Em uma prova real, ou em engenharia prática, você precisa dos dados de equilíbrio ou de uma curva
.
Passo 2
Princípios físicos e equações fundamentais (aula curta e didática):
- Balanço diferencial em destilação em batelada (derivação e interpretação)
- Considere
o número de kmoles líquidos no refervedor em um dado instante e a fração molar de etanol nesse líquido. Quando se remove um pequeno montante de destilado , o número de mols no refervedor muda em . - Balanço componente (etanol): a variação do etanol no refervedor é
onde é a fração em etanol do vapor que sai para o condensador (e, após condensação, parte volta como refluxo e parte é coletada). Desenvolvendo e lembrando obtemos Rearranjando: Integrando do estado inicial até o estado final : Esta é a equação de Rayleigh generalizada para batelada. Repare que pode depender de (via equilíbrio e pela ação da coluna), então, em geral, a integral precisa de .
- Relação
: papel da coluna e do refluxo
- Se você tem um alambique simples (pot still) sem coluna, o vapor que sai está em equilíbrio com o líquido do refervedor e
é simplesmente dado pela relação de equilíbrio VLE (uma função do do refervedor). - Com uma coluna (refluxo e estágios), a composição do vapor no topo (e do destilado instantâneo) não é diretamente a função de equilíbrio do líquido do refervedor: a coluna age como um aparelho que separa, e para cada composição do fundo
haverá, em regime estacionário instantâneo, uma composição de destilado que depende do número de estágios e do refluxo . Esse mapeamento é obtido por McCabe–Thiele (ou por uma solução numérica da malha de equilíbrio) usando a curva de equilíbrio e a reta de operação no lado de cima onde é a composição do destilado (o ponto onde a reta corta o eixo ). Para uma coluna com dois estágios acima do refervedor, você precisaria grafar/iterar até que, a partir de , descontando os dois passos entre reta de operação e curva de equilíbrio, se chegue ao do estágio próximo ao refervedor. Em palavras: para cada do fundo há um consistente com 2 estágios e . Assim, a forma correta é: e então usar essa na integral de Rayleigh.
- Balanço global para obter composição média do destilado
- Ao final, sabendo
(holdup final no refervedor), a quantidade total de destilado é - Balanço de etanol total:
onde é a composição média molar do destilado coletado. Assim
Resumo do procedimento exato que você deveria usar (sem números ainda):
a) Obter curva de equilíbrio (dados ou modelo VLE).
b) Para cada valor de entre
e
, usar McCabe–Thiele com
e 2 estágios para encontrar
.
c) Avaliar a integral de Rayleigh
a) Obter curva de equilíbrio
b) Para cada valor de
c) Avaliar a integral de Rayleigh
para obter
.
d) Calcular e
pela equação de balanço de componente acima.
d) Calcular
Passo 3
Por que não posso dar um único número sem mais dados
- Reafirmando: para avaliar numericamente a integral da equação de Rayleigh precisamos conhecer
. Para obter é necessário o equilíbrio VLE (ou uma relação de volatilidade relativa ) e aplicar McCabe–Thiele com e o número de estágios. O enunciado não deu a curva nem a volatilidade relativa. Portanto não há uma solução numérica única.
Mas para que você não fique sem exemplo prático, vou agora resolver um caso ilustrativo bem definido (hipótese clara) para mostrar passo a passo como se calcula e para que você entenda o procedimento numérico/algebráico. Lembre-se: os resultados numéricos que virão são condicionais à hipótese que vou assumir — eles servem como exemplo didático.
Hipótese ilustrativa (comum em exercícios): suponha que a mistura comporte-se com volatilidade relativa constante
(modelo de volatilidade constante). Assumirei
Nesse modelo de volatilidade constante a curva de equilíbrio (na forma
vs
) é
Passo 4
Aplicando a hipótese
: cálculo analítico da integral (passo a passo e mastigado)
- Escrevemos
em função de :
- Calcule
para simplificar o integrando:
- O integrando fica
Agora separe e simplifique com frações parciais (mostrar o truque):
E como
, temos
- Integramos de
até :
As integrais conhecidas são:
Portanto, avaliando os limites e combinando termos (faço o cálculo literal para ficar claro), obtemos:
- Pela equação de Rayleigh (ver passo 2):
Agora colocamos os números:
-
, .
Calcule os logaritmos:
Substituindo:
Logo:
Portanto a carga final do refervedor é
Passo 5
Cálculo da quantidade de destilado e da composição média do destilado (seguindo a massa de etanol)
- Quantidade de destilado coletada:
- Composição média do destilado
por balanço de etanol:
Calculemos:
Portanto etanol no destilado:
e
Passo 6
Interpretação, embalagem dos resultados e aviso final (motivação para a prova)
-
Resultado ilustrativo (condicional): com a hipótese de volatilidade relativa constante
e usando a equação de Rayleigh (modelo em que o vapor que se separa está ligado ao líquido por do caso considerado), eu obtive: - carga final do refervedor
, - destilado coletado
, - composição média do destilado
(36,85 mol%).
- carga final do refervedor
-
Atenção: estes números são um exemplo demonstrativo. O cálculo exato para o enunciado real (com coluna de dois estágios e refluxo
) exige a curva de equilíbrio VLE ou os dados/pressões/Antoine/coeficientes de atividade para etanol/água. Com esses dados você faria, para cada entre e , um McCabe–Thiele instantâneo (com e dois estágios) para obter e então avaliaria numericamentea integral de Rayleigh. O procedimento que demonstrei mostra todos os passos e como usar a equação de Rayleigh — é exatamente o que se pede em prova, mas lembrando: sem o VLE os números não são únicos.
Força aí — se você quiser eu repito os cálculos adotando:
- a curva de equilíbrio ideal com constantes de Antoine reais (faço a estimação e a integração numérica), ou
- um valor diferente de
, ou - a solução completa considerando o mapeamento McCabe–Thiele para os 2 estágios e
(com iteração numérica),
faça o pedido que eu executo e explico passo a passo (sem pular etapas). Você tá indo bem — já entendeu o caminho! 😃
Resposta
Composição média do destilado:
(fração molar, ou
em etanol)
Carga final do refervedor:
Quantidade de destilado coletada:
Carga final do refervedor:
Quantidade de destilado coletada: