Éter isopropílico deve ser usado para extrair ácido acético de uma solução aquosa. Deve-se usar uma coluna de extração já existente e equivalente a 5 estágios de equilíbrio.
Determine a quantidade de solvente necessária para as seguintes condições
Rafinado inicial - 1000 lb/h - composição: 50 \% ácido acético, 40 \% água e 10 \% éter rafinado final com 5% de ácido acético

Passo 1

O que o enunciado dá (dados explícitos):
  • Vazão do rafinado inicial: F=1000\\ \text{lb/h}.
  • Composição do rafinado inicial (em massa): 50\% ácido acético, 40\% água, 10\% éter. Logo a fração de ácido no alimento é x_F=0{,}50.
  • O solvente a ser usado é éter isopropílico (solvente puro fresco será pedido).
  • A coluna existente é equivalente a N=5 estágios de equilíbrio.
  • Deseja-se que o rafinado final tenha 5\% de ácido acético, ou seja x_R=0{,}05.
O que o enunciado pede:
  • Determinar a quantidade de solvente necessária (vazão de solvente fresco em lb/h) para obter esse rafinado final usando a coluna de 5 estágios.
Observação importante (informação implícita que vamos usar):
  • O alimento já contém 10\% de éter, isto é, já entra com F\cdot0{,}10=100\\ \text{lb/h} de solvente no equipamento. Esse solvente contido no alimento reduz a quantidade de solvente fresco necessária, então devemos considerá‑lo.
  • O enunciado não fornece uma constante de partição K. Neste tipo de exercício, quando não dada, adotamos a hipótese simples de coeficiente de partição constante e igual a K=1 (assunção padrão de exame quando nada mais é fornecido). Vou explicitar e usar essa suposição adiante.

Passo 2

Conceitos básicos e definição das variáveis (aula prática, sem pulo de etapas)
  • Definição de frações de soluto:
    • x = fração em massa de ácido no fase aquosa (rafinado).
    • y = fração em massa de ácido na fase orgânica (extrato).
  • Coeficiente de partição K: é a razão entre a concentração (fração em massa) do soluto na fase orgânica e na fase aquosa quando as duas fases estão em equilíbrio: K=\frac{y}{x}.Significado: se K>1 o soluto prefere o solvente orgânico; se K<1 prefere a água. Como não foi dado, adotamos K=1 para procedimento padrão neste exercício.

Passo 3

Modelo multiestágio simplificado e fórmula útil (intuição + derivação curta)
  • Vamos usar o modelo de estágios de equilíbrio idênticos e fluxos constantes das fases (modelo clássico de extração por contato sucessivo). Para um único contato em equilíbrio entre uma corrente aquosa de vazão F com concentração x_{\text{in}} e um solvente de vazão S inicialmente sem soluto, faz‑se o balanço de massa do soluto:
    quantidade de soluto entrando = quantidade saindo F x_{\text{in}} = F x_{\text{out}} + S y_{\text{out}}.Em equilíbrio vale y_{\text{out}}=K x_{\text{out}}. Substituindo: F x_{\text{in}} = x_{\text{out}}(F + K S).Portanto para esse contato x_{\text{out}} = x_{\text{in}}\cdot\frac{F}{F + K S}.
  • Se repetirmos esse contato N vezes, aplicando estágios em série (modelo de estágios de equilíbrio sucessivos), a fração em massa de ácido no rafinado após N contatos fica x_R = x_F\left(\frac{F}{F + K S}\right)^N.Reescrevendo em forma conveniente: \frac{x_R}{x_F}=\left(\frac{1}{1+K\frac{S}{F}}\right)^N.Nota didática: essa fórmula é a expressão usada em muitos problemas de separação quando se assume coeficiente de partição constante e estágios de equilíbrio ideais. (Estamos usando-a aqui porque o enunciado diz “equivalente a 5 estágios de equilíbrio” e não dá K.)

Passo 4

Aplicando a fórmula aos números do problema (incluir solvente já presente no alimento)
  • Definimos S_{\text{tot}} = vazão total de solvente que entra na coluna do lado do solvente (isto inclui tanto o solvente fresco que vamos adicionar quanto o solvente já presente no alimento). Como o alimento tem 10\% de éter, já entra com S_{\text{feed}} = F\cdot 0{,}10 = 100\\ \text{lb/h}.Logo o solvente total que participa do processo é S_{\text{tot}} = S_{\text{fresco}} + S_{\text{feed}}.
  • Usando a fórmula com K=1, N=5, x_F=0{,}50, x_R=0{,}05 e F=1000\\ \text{lb/h}: \frac{x_R}{x_F}=\left(\frac{1}{1+\frac{S_{\text{tot}}}{F}}\right)^N.Substituindo números: \frac{0{,}05}{0{,}50}=\left(\frac{1}{1+\dfrac{S_{\text{tot}}}{1000}}\right)^5.O lado esquerdo é 0{,}05/0{,}50=0{,}1. Tomando a quinta raiz: 1+\frac{S_{\text{tot}}}{1000} = \left(\frac{1}{0{,}1}\right)^{1/5} = 10^{1/5}.Calculando 10^{1/5}: use a identidade 10^{1/5}=e^{\ln(10)/5}. Numericamente, 10^{1/5}\approx 1{,}584893.Portanto 1+\frac{S_{\text{tot}}}{1000}\approx 1{,}584893,
\frac{S_{\text{tot}}}{1000}\approx 0{,}584893,
S_{\text{tot}}\approx 584{,}893\\ \text{lb/h}.

Passo 5

Encontrar o solvente fresco pedido (subtrair o solvente que já vinha no alimento)
  • Lembrando que S_{\text{tot}} = S_{\text{fresco}} + S_{\text{feed}} e que S_{\text{feed}}=100\\ \text{lb/h}, temos S_{\text{fresco}} = S_{\text{tot}} - 100 \approx 584{,}893 - 100 = 484{,}893\\ \text{lb/h}.
  • Arredondando de modo prático para duas casas significativas, obtemos S_{\text{fresco}}\approx 484{,}9\\ \text{lb/h} (ou aproximadamente 485\\ \text{lb/h}).

Resposta

484{,}9\\ \text{lb/h}

Exercícios relacionados