Uma determinada mistura deve ser retificada a fim de se obter produtos de topo e de fundo segundo a tabela abaixo. Considerando que a alimentação seja um líquido no ponto de bolha, use o método de Underwood para o cálculo da razão de refluxo mínima.
Componente
Alimentação (% molar)
Topo (% molar)
Fundo (% molar)
A
77,4
10,0
26,0
B
13,9
15,0
38,0
C
5,3
33,0
34,0
32,0
D
2,1
30,0
2,0
48,0
E
1,0
12,0
20,0
| Componente |
|
Alimentação (% molar) | Topo (% molar) | Fundo (% molar) |
| A | 77,4 | 10,0 | 26,0 | |
| B | 13,9 | 15,0 | 38,0 | |
| C | 5,3 | 33,0 | 34,0 | 32,0 |
| D | 2,1 | 30,0 | 2,0 | 48,0 |
| E | 1,0 | 12,0 | 20,0 |
Passo 1
O enunciado pede: calcular a razão de refluxo mínima usando o método de Underwood, sabendo que a alimentação é um líquido no ponto de bolha (ou seja,
).\n
Dados fornecidos (peguei todos da tabela do enunciado):
Dados fornecidos (peguei todos da tabela do enunciado):
Obs.: completei zeros onde a tabela não mostrou (por exemplo
,
).\n
Pergunta explícita: calcular a razão de refluxo mínima (número adimensional).
Pergunta explícita: calcular a razão de refluxo mínima
Passo 2
Primeiro passo teórico-didático: o que é o método de Underwood e quais fórmulas vamos usar (explicado passo a passo e sem pular etapas).\n
Intuição rápida (sem formalismo excessivo): Underwood fornece uma forma prática de obter a razão de refluxo mínima para uma separação multicomponente com volatilidades constantes, sem precisar desenrolar todos os balanços estágio a estágio. Ele introduz um parâmetro que é a incógnita principal; depois, com
, calcula-se
.\n
Variáveis que vamos usar (e o que cada uma significa):
Intuição rápida (sem formalismo excessivo): Underwood fornece uma forma prática de obter a razão de refluxo mínima para uma separação multicomponente com volatilidades constantes, sem precisar desenrolar todos os balanços estágio a estágio. Ele introduz um parâmetro
Variáveis que vamos usar (e o que cada uma significa):
-
: volatilidade relativa do componente (dado na tabela). -
: fração molar na alimentação do componente (dado). -
: fração molar no destilado (topo) do componente (dado). -
: qualidade da alimentação (fração líquida que entra); aqui porque a alimentação é líquido saturado. -
: parâmetro auxiliar de Underwood (a resolver). -
: razão de refluxo mínima que queremos encontrar.\n
Regra para escolher as chaves (light key e heavy key) — importante porquefica entre as volatilidades das chaves: - O par de chaves é o par que “define” a separação: a chave leve (LK) é o componente mais volátil que aparece significativamente nos fundos, e a chave pesada (HK) é o componente menos volátil que aparece significativamente no topo. Observando a tabela: o componente
aparece tanto no topo ( ) quanto nos fundos ( ) — ou seja, está sendo dividido — e é mais volátil que . O componente também aparece em ambos, e é menos volátil que . Então: -
com . -
com .
Assimestará entre e .\n
Fórmulas de Underwood que vamos usar (forma prática usada em muitos textos e apropriada para alimentação com qualidade):
-
- Equação de Underwood para encontrar
:
Explicação: essa é a forma geral;
são frações da alimentação. No nosso caso
, logo o lado direito fica
, e a equação vira
- Cálculo de
após achar :
Explicação: soma-se o termo para cada componente usando as frações do destilado
, obtém-se um número e subtrai-se 1; o resultado é a razão de refluxo mínima.\n
Comentário didático: por que essas fórmulas? Não entro na prova completa da teoria (que vem de balancear correntes e usar relações de equilíbrio linearizadas com constantes), mas a forma operacional é esta: primeiro encontra-se
resolvendo a primeira equação (no intervalo entre as volatilidades das chaves) e depois aplica-se a segunda fórmula. Para
a equação fica bem simples (soma igual a zero).
Comentário didático: por que essas fórmulas? Não entro na prova completa da teoria (que vem de balancear correntes e usar relações de equilíbrio linearizadas com
Passo 3
Vamos resolver numericamente a equação de Underwood para
:
Com
queremos a raiz
, e
deve satisfazer
, ou seja
.\n
Listo dos e
para cálculos:
Listo dos
Vou avaliar
em alguns pontos para localizar a raiz (método de bisecção / busca simples). Fazer essas avaliações explicitamente ajuda você a reproduzir na prova se precisar.
Avaliação em
:
Somando:
Portanto
.
Avaliação em
:
Somando:
Portanto
.
Como
e
, existe uma raiz entre
e
. Vamos interpolar linearmente para uma boa aproximação:
Substituindo
e
:
Para arredondamento prático uso
(na nossa primeira tentativa numérica a soma já ficou muito próxima de zero com
).\n
Conclusão deste passo: (valor dentro do intervalo
–
como esperado).
Conclusão deste passo:
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula de Underwood para
:
onde
são as frações molares do destilado (topo). Valores
:
,
,
,
,
.\n
Calculemos cada termo usando :
Calculemos cada termo usando
Para A:
Para B:
Para C:
Para D:
Para E:
então o termo é
.\n
Somando os termos:
Somando os termos:
Finalmente,
Arredondando de forma conveniente (três algarismos significativos):
Passo 5
Interpretação curta e incentivo: o resultado significa que, no limite de número infinito de pratos (mínimo refluxo), a razãode refluxo necessária para obter as especificações do topo dadas é cerca de
(ou seja, aproximadamente
). Dá pra usar esse valor como referência: na prática costuma-se escolher um refluxo maior que
(por exemplo
–
vezes
ou mais) para reduzir o número de pratos. Você conseguiu acompanhar a aplicação do Underwood — essa técnica é uma ferramenta poderosa pra multicomponentes e, com um pouco de prática, fica bem tranquila. Vai dar tudo certo na prova!