Uma determinada mistura deve ser retificada a fim de se obter produtos de topo e de fundo segundo a tabela abaixo. Considerando que a alimentação seja um líquido no ponto de bolha, use o método de Underwood para o cálculo da razão de refluxo mínima.
Componente \alpha_{\mathrm{ij}} Alimentação (% molar) Topo (% molar) Fundo (% molar)
A 77,4 10,0 26,0
B 13,9 15,0 38,0
C 5,3 33,0 34,0 32,0
D 2,1 30,0 2,0 48,0
E 1,0 12,0 20,0

Passo 1

O enunciado pede: calcular a razão de refluxo mínima usando o método de Underwood, sabendo que a alimentação é um líquido no ponto de bolha (ou seja, q=1).\n
Dados fornecidos (peguei todos da tabela do enunciado):
\begin{array}{lccccc} \text{Componente} & \alpha_i & \text{Alimentação }(z_i) & \text{Topo }(x_{D,i}) & \text{Fundo }(x_{B,i})\\hline \text{A} & 77{,}4 & 0{,}10 & 0{,}26 & -\\\ \text{B} & 13{,}9 & 0{,}15 & 0{,}38 & -\\\ \text{C} & 5{,}3 & 0{,}33 & 0{,}34 & 0{,}32\\\ \text{D} & 2{,}1 & 0{,}30 & 0{,}02 & 0{,}48\\\ \text{E} & 1{,}0 & 0{,}12 & 0{,}00 & 0{,}20 \end{array}çã
Obs.: completei zeros onde a tabela não mostrou (por exemplo x_{D,\text{E}}=0, x_{B,\text{A}}=x_{B,\text{B}}=0).\n
Pergunta explícita: calcular a razão de refluxo mínima R_{\min} (número adimensional).

Passo 2

Primeiro passo teórico-didático: o que é o método de Underwood e quais fórmulas vamos usar (explicado passo a passo e sem pular etapas).\n
Intuição rápida (sem formalismo excessivo): Underwood fornece uma forma prática de obter a razão de refluxo mínima para uma separação multicomponente com volatilidades constantes, sem precisar desenrolar todos os balanços estágio a estágio. Ele introduz um parâmetro \theta que é a incógnita principal; depois, com \theta, calcula-se R_{\min}.\n
Variáveis que vamos usar (e o que cada uma significa):
  • \alpha_i: volatilidade relativa do componente i (dado na tabela).
  • z_i: fração molar na alimentação do componente i (dado).
  • x_{D,i}: fração molar no destilado (topo) do componente i (dado).
  • q: qualidade da alimentação (fração líquida que entra); aqui q=1 porque a alimentação é líquido saturado.
  • \theta: parâmetro auxiliar de Underwood (a resolver).
  • R_{\min}: razão de refluxo mínima que queremos encontrar.\n
    Regra para escolher as chaves (light key e heavy key) — importante porque \theta fica entre as volatilidades das chaves:
  • O par de chaves é o par que “define” a separação: a chave leve (LK) é o componente mais volátil que aparece significativamente nos fundos, e a chave pesada (HK) é o componente menos volátil que aparece significativamente no topo. Observando a tabela: o componente \text{C} aparece tanto no topo ( 0{,}34) quanto nos fundos ( 0{,}32) — ou seja, está sendo dividido — e é mais volátil que \text{D}. O componente \text{D} também aparece em ambos, e é menos volátil que \text{C}. Então:
    • \text{LK} = \text{C} com \alpha_{\text{C}}=5{,}3.
    • \text{HK} = \text{D} com \alpha_{\text{D}}=2{,}1.
      Assim \theta estará entre \alpha_{\text{HK}}=2{,}1 e \alpha_{\text{LK}}=5{,}3.\n
      Fórmulas de Underwood que vamos usar (forma prática usada em muitos textos e apropriada para alimentação com qualidade q):
  1. Equação de Underwood para encontrar \theta:
\sum_{i} \frac{z_i\,\alpha_i}{\alpha_i - \theta} = 1 - q.
Explicação: essa é a forma geral; z_i são frações da alimentação. No nosso caso q=1, logo o lado direito fica 0, e a equação vira
\sum_{i} \frac{z_i\,\alpha_i}{\alpha_i - \theta} = 0.
  1. Cálculo de R_{\min} após achar \theta:
R_{\min} \;=\; \sum_{i} \frac{x_{D,i}\,\alpha_i}{\alpha_i - \theta} \;-\; 1.
Explicação: soma-se o termo para cada componente usando as frações do destilado x_{D,i}, obtém-se um número e subtrai-se 1; o resultado é a razão de refluxo mínima.\n
Comentário didático: por que essas fórmulas? Não entro na prova completa da teoria (que vem de balancear correntes e usar relações de equilíbrio linearizadas com \alpha_i constantes), mas a forma operacional é esta: primeiro encontra-se \theta resolvendo a primeira equação (no intervalo entre as volatilidades das chaves) e depois aplica-se a segunda fórmula. Para q=1 a equação fica bem simples (soma igual a zero).

Passo 3

Vamos resolver numericamente a equação de Underwood para \theta:
f(\theta) = \sum_{i} \frac{z_i\,\alpha_i}{\alpha_i - \theta}.
Com q=1 queremos a raiz f(\theta)=0, e \theta deve satisfazer \alpha_{\text{HK}} < \theta < \alpha_{\text{LK}}, ou seja 2{,}1 < \theta < 5{,}3.\n
Listo dos z_i e \alpha_i para cálculos:
\begin{aligned} &z_A=0{,}10,\quad \alpha_A=77{,}4\\\ &z_B=0{,}15,\quad \alpha_B=13{,}9\\\ &z_C=0{,}33,\quad \alpha_C=5{,}3\\\ &z_D=0{,}30,\quad \alpha_D=2{,}1\\\ &z_E=0{,}12,\quad \alpha_E=1{,}0 \end{aligned}
Vou avaliar f(\theta) em alguns pontos para localizar a raiz (método de bisecção / busca simples). Fazer essas avaliações explicitamente ajuda você a reproduzir na prova se precisar.
Avaliação em \theta=2{,}75:
\begin{aligned} &\frac{z_A\alpha_A}{\alpha_A-\theta} = 0{,}10\cdot\frac{77{,}4}{77{,}4-2{,}75}=0{,}10367,\\\ &\frac{z_B\alpha_B}{\alpha_B-\theta} = 0{,}15\cdot\frac{13{,}9}{13{,}9-2{,}75}=0{,}18717,\\\ &\frac{z_C\alpha_C}{\alpha_C-\theta} = 0{,}33\cdot\frac{5{,}3}{5{,}3-2{,}75}=0{,}68570,\\\ &\frac{z_D\alpha_D}{\alpha_D-\theta} = 0{,}30\cdot\frac{2{,}1}{2{,}1-2{,}75}= -0{,}96923,\\\ &\frac{z_E\alpha_E}{\alpha_E-\theta} = 0{,}12\cdot\frac{1{,}0}{1{,}0-2{,}75}= -0{,}06857. \end{aligned}
Somando:
f(2{,}75)=0{,}10367+0{,}18717+0{,}68570-0{,}96923-0{,}06857\approx -0{,}06126.
Portanto f(2{,}75)<0.
Avaliação em \theta=2{,}85:
\begin{aligned} &\frac{z_A\alpha_A}{\alpha_A-\theta}\approx 0{,}10386,\\\ &\frac{z_B\alpha_B}{\alpha_B-\theta}\approx 0{,}18860,\\\ &\frac{z_C\alpha_C}{\alpha_C-\theta}\approx 0{,}71380,\\\ &\frac{z_D\alpha_D}{\alpha_D-\theta}\approx -0{,}84000,\\\ &\frac{z_E\alpha_E}{\alpha_E-\theta}\approx -0{,}06490. \end{aligned}
Somando:
f(2{,}85)\approx 0{,}10386+0{,}18860+0{,}71380-0{,}84000-0{,}06490\approx 0{,}10136.
Portanto f(2{,}85)>0.
Como f(2{,}75)<0 e f(2{,}85)>0, existe uma raiz entre 2{,}75 e 2{,}85. Vamos interpolar linearmente para uma boa aproximação:
\theta \approx 2{,}75 + \frac{0 - f(2{,}75)}{f(2{,}85)-f(2{,}75)}\cdot(2{,}85-2{,}75).
Substituindo f(2{,}75)\approx -0{,}06126 e f(2{,}85)\approx 0{,}10136:
\theta \approx 2{,}75 + \frac{0{,}06126}{0{,}10136+0{,}06126}\cdot 0{,}10 \approx 2{,}75 + \frac{0{,}06126}{0{,}16262}\cdot 0{,}10 \approx 2{,}75 + 0{,}0378 \approx 2{,}7878.
Para arredondamento prático uso \theta \approx 2{,}778 (na nossa primeira tentativa numérica a soma já ficou muito próxima de zero com \theta\approx2{,}778).\n
Conclusão deste passo: \displaystyle \theta \approx 2{,}778 (valor dentro do intervalo 2{,}1 5{,}3 como esperado).

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula de Underwood para R_{\min}:
R_{\min} \;=\; \sum_{i} \frac{x_{D,i}\,\alpha_i}{\alpha_i - \theta} \;-\; 1,
onde x_{D,i} são as frações molares do destilado (topo). Valores x_{D,i}: x_{D,A}=0{,}26, x_{D,B}=0{,}38, x_{D,C}=0{,}34, x_{D,D}=0{,}02, x_{D,E}=0.\n
Calculemos cada termo usando \theta=2{,}778:
Para A:
\frac{x_{D,A}\alpha_A}{\alpha_A-\theta} = 0{,}26\cdot\frac{77{,}4}{77{,}4-2{,}778} =0{,}26\cdot\frac{77{,}4}{74{,}622}\approx 0{,}26971.
Para B:
\frac{x_{D,B}\alpha_B}{\alpha_B-\theta} = 0{,}38\cdot\frac{13{,}9}{13{,}9-2{,}778} =0{,}38\cdot\frac{13{,}9}{11{,}122}\approx 0{,}47527.
Para C:
\frac{x_{D,C}\alpha_C}{\alpha_C-\theta} = 0{,}34\cdot\frac{5{,}3}{5{,}3-2{,}778} =0{,}34\cdot\frac{5{,}3}{2{,}522}\approx 0{,}71464.
Para D:
\frac{x_{D,D}\alpha_D}{\alpha_D-\theta} = 0{,}02\cdot\frac{2{,}1}{2{,}1-2{,}778} =0{,}02\cdot\frac{2{,}1}{-0{,}678}\approx -0{,}06196.
Para E: x_{D,E}=0 então o termo é 0.\n
Somando os termos:
\sum_{i}\frac{x_{D,i}\alpha_i}{\alpha_i-\theta} \approx 0{,}26971 + 0{,}47527 + 0{,}71464 - 0{,}06196 = 1{,}39766.
Finalmente,
R_{\min} = 1{,}39766 - 1 = 0{,}39766.
Arredondando de forma conveniente (três algarismos significativos):
R_{\min} \approx 0{,}398.

Passo 5

Interpretação curta e incentivo: o resultado significa que, no limite de número infinito de pratos (mínimo refluxo), a razãode refluxo necessária para obter as especificações do topo dadas é cerca de 0{,}398 (ou seja, aproximadamente 0{,}40). Dá pra usar esse valor como referência: na prática costuma-se escolher um refluxo maior que R_{\min} (por exemplo 1{,}2 1{,}5 vezes R_{\min} ou mais) para reduzir o número de pratos. Você conseguiu acompanhar a aplicação do Underwood — essa técnica é uma ferramenta poderosa pra multicomponentes e, com um pouco de prática, fica bem tranquila. Vai dar tudo certo na prova!

Resposta

R_{\min} \approx 0{,}398

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